概率论部分总结

概念：

随机试验：
1、可以在相同条件下重复地进行；
2、每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；
3、进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。

样本空间&样本点：
某个随机试验的所有可能结果组成的集合，每个结果称之为样本点

随机事件：
样本空间的子集，简称事件，当且仅当子集中的一个样本点出现，称为事件发生

基本事件：
由一个样本点组成的单点集

频率：
进行了n次试验，事件A发生了nA次，nA叫频数，nAn叫频率,记fn(A)

概率：
对随机试验的样本空间中，每一事件A赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率

古典概型：
随机事件仅包含有限个事件，且每个事件出现的可能性相同

对立事件、互斥事件、独立事件：
对立事件为样本空间中仅有A、B两个可能事件，非A即B；互斥事件为同一样本空间中，A、Ｂ事件无交集，只要Ａ发生了，Ｂ就不可能发生，但Ａ发生了，Ｂ不一定发生（有可能是Ｃ、Ｄ……其它事件发生）；独立事件，Ａ、Ｂ分处不同样本空间，互不影响。

实际推断原理：
概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的

先验概率、后验概率：
由以往数据分析得到的概率叫先验概率，得到最新信息后，再重新加以修正的概率叫后验概率

公式、定理：

事件运算：

运算定律 公式 交换律 A∪B=B∪A;A∩B=B∩A 结合律 A∪(B∩C)=(A∪B)∪C;A∩(B∩C)=(A∩B)∩C 分配律 A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 德摩根律 A∪B¯¯¯¯¯¯¯¯¯=A¯¯¯∩B¯¯¯;A∩B¯¯¯¯¯¯¯¯¯=A¯¯¯∪B¯¯¯

基本概率运算：

事件条件 公式 空事件 P(A)=0 An为两两互不相容事件 P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) A、B为两个事件，A⊂B P(B−A)=P(B)−P(A);P(B)>P(A) 任一事件A P(A)≤1 互逆事件A、A¯ P(A)=1−P(A¯) 任意两事件A、B
推广到N件事件 P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)
P(A1∪A2…An)=∑ni=1P(Ai)+∑1≤i<j≤nP(AiAj)+∑1≤i<j<k≤nP(AiAjAk)…+(−1)n−1P(A1A2…An)

超几何分布：
在不放回抽样中，共有N个球，其中红球个数为D，其余为白球，从中抽n个球出来，求抽中k个红球的概率，即为超几何分布问题，其公式为：

P=(Dk)⋅(N−Dn−k)(Nn)=Ckn⋅Cn−kN−DCnN

条件概率、乘法定理：
A、B为两个事件，且P(A)>0，则条件概率公式为：

P(B|A)=P(AB)P(A)

称为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，A、B两事件需要有交集，概率运算的结果对条件概率都有效，只需要把“|A”当成不存在，由条件概率引申出乘法定理，即做个简单的运算即有：

P(AB)=P(B|A)P(A)

推广到n≥2的情况，当P(A1A2A3…An)>0时有：

P(A1A2A3…An)=P(An|A1A2…An−1)P(An−1|A1A2…An−2)…P(A2|A1)P(A1)

全概率公式及贝叶斯公式：
首先定义，把一个样本空间全部分割之后所得的B1、B2…Bn称之为样本空间的一个划分，各划分子集之间是没有交集的，即相当于把一张纸剪为n份一样，没有重叠，拼起来就是一整张纸。基于这样的一个划分，有全概率公式如下：

P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn)

由条件概率的定义及全概率公式可以推出贝叶斯公式：

P(Bi|A)=P(BiA)P(A)=P(A|Bi)P(Bi)∑nj=1P(A|Bj)P(Bj),i=1,2,…n

应用总结：

超几何分布应用：
在抽样问题中不放回抽样的精确概率计算，比如质量管理中，在一批已知不良率的产品N中抽n个，抽取到k个不良品的概率是多少，或者抽到小于等于k个不良品的概率有多大，以此概率用于假设检验中的P值，又可以反过来检验不良率是否为已知的P不良，后续假设检验时再详细说明。

条件概率、乘法定理：
条件概率，对于那些可以确定所有基本事件的样本，事件A、B的交集发生概率，事件A的发生概率都是可以确定的，此时，用条件概率就可以计算出事件A发生之下，出现事件B的概率是多少，见识有限，未能补充实际例子。
乘法定理，由先验概率或“穷举概率”1得到P(An|A1A2……),P(An−1|A1A2…)等各级概率，然后可以通过乘法定理，求出各级事件（或逆事件）的组合概率，如P(A1A2¯¯¯¯A3A4A5¯¯¯¯…)

全概率公式：
全概率公式关键是要穷尽所有发生事件A的子集，即要找到样本空间下所有的划分！
打个比方可能更好理解一些，某市有N个停车场，各停车场都停满了车，以各停车场里停宝马的数量为事件，记为B1、B2…Bn,即每个停车场停宝马的概率为P(B1)、P(B2)…P(Bn)，而每个停车场的宝马系列中出现宝马X6的概率为P(A|B1)、P(A|B2)、…P(A|Bn)现在要计算本市所有停车场上，停宝马X6这种类型的车的概率P(A)，就可以用全概率公式去求。
再出个书上的例子，比如要示某个症状如流鼻涕（记为事件A）的出现概率P(A)，但无法直接得出概率，此时，我只要知道哪些疾病如感冒P(B1)、鼻炎P(B2)等等P(Bn)发生的概率，以及在感冒之后出现流鼻涕的概率P(A|B1)、鼻炎之后出现流鼻涕的概率P(A|B2)、…等等出现的概率P(A|Bn)就可以通过全概率公式求得流鼻涕出现的概率。（得了AIDS也是有可能流鼻涕的-_-!）

贝叶斯公式：
贝叶斯公式关键是P(BiA)=P(ABi)=P(A|Bi)P(Bi)这个公式中分子的转换
接着用上面全概率公式的两个例子说明贝叶斯公式：
第一个例子，那是发生在求出全市的宝马X6概率之后的事，我发现一车宝马X6在飙车，那么它来自哪个停车场的可能性最大？
第二个例子，那是发生在求出流鼻涕概率之后的事，有个人他流鼻涕了！那么，他得什么病的可能性最大？或者只求出，他得了感冒的可能性有多大？

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1. 不知道有没有这个，姑且这么叫吧，意为各级样本的分布情况都知道，可以直接计算下一步动作中出现某件事的概率，比如有8个白球2个红球，抽到红球的概率是2/10，抽出一个白球之后，抽到红球的概率是2/9之类 ↩