等价类计数（Arif in Dhaka (First Love Part 2)，UVA 10294）

就是定义两种等价类，然后问你分别有多少个等价类。

然后要用到Burnside引理。

就是对于一个置换f，若一个着色方案s经过置换后不变，称s为f的不动点。将f的不动点数目记为C(f)，则可以证明等价类数目为所有C(f)的平均值。

那么如何计算不动点数目C(f)呢？

一般的，如果置换f分解成m(f)个循环的乘积，那么每个循环内所有各自的颜色必须相同，假设涂k种颜色，则有C(f)=k^m(f)。

那怎么把置换写成循环呢？举两个例子

第一个例子是将格子逆时针旋转180°

比如

       1  2

       4  3

逆时针旋转180°后变成了

       3  4

       2  1

再旋转180°又变成了初始状态。

那么写成循环就是(1,3)(2,4)表示有2个循环，每个循环有2个元素。C(f)=k^2

第一个循环(1,3)表示1->3->1，循环节是2。第二个循环(2,4)表示2->4->2，循环节也是2。

第二个例子就是本题

假设有6个数字的圆排列

         1  2

      6        3

         5  4

逆时针旋转2个数字就变成了

         3  4

      2        5

         1  6

再逆时针旋转2个数字就是

         5  6

      4        1

         3  2

再逆时针旋转2个数字就变回了初始状态

那么写成循环乘积就是(1,3,5)(2,4,6)表示有2个循环，每个循环有3个元素。C(f)=k^2。

我们可以想明白n个数字旋转i个数字这种置换的C(f)=k^(gcd(i,n))。

然后关于本题

旋转一共有n种方式分别为0,1,2,...,n-1。

因此不动点一共有a=∑t^gcd(i,n)，0<=i<n，个。

翻转要分类讨论。也就是说有两种置换

如果有奇数个点，那么过每个点就有一个对称轴，共有n个。对于每个对称轴，轴上的点循环节为1，共1个。其他点循环节为2，共n/2个，一共有n/2+1个循环。那么不动点一共有b=n*k^(n/2+1)个。

如果有偶数个点，那么过每2个对称的点就有一个对称轴，共n/2个。过每2个点之间也有一个对称轴，共n/2个。

对于过点的对称轴，轴上的点循环节为1，共2个。其他点循环节为2，共n/2-1个，一共有n/2+1个循环。

这种置换的不动点一共有n/2*k^(n/2+1)个。

对于不过点的对称轴，没有循环节为1的点，但有n/2个循环节为2的点，一共有n/2个循环。

这种置换的不动点一共有n/2*k^(n/2)个。

那么旋转一共有b=n/2(k^(n/2+1)+k^(n/2))个不动点。

根据Burnside定理，项链只可以旋转，所以等价类的个数为a/n。

手镯可以翻转，也可以旋转，所以等价类的个数为(a+b)/2n。

代码

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;ll gcd(ll a,ll b){    return !b?a:gcd(b,a%b);}ll mp(ll x,ll n){    ll ret=1;    while(n)    {        if(n&1) ret*=x;        x*=x;        n>>=1;    }    return ret;}int main(){    ll n,t;    while(scanf("%lld %lld",&n,&t)==2)    {        ll a=0;        ll b=0;        for(ll i=0;i<n;i++)            a+=mp(t,gcd(i,n));        if(n&1) b=n*mp(t,n/2+1);        else b=n*(mp(t,n/2+1)+mp(t,n/2))/2;        printf("%lld %lld\n",a/n,(a+b)/2/n);    }    return 0;}