8.20

题目：在一个无向图G=(V,E)中，我们称D⊆V为一个占优集，是指每个v∈V都属于D或与D中一个节点为邻。在占优集问题中，输入为一个图和预算b，目标是求图中的一个规模不超过b的控制集——如果该集存在，证明该问题是NP-完全的。

解：通过将顶点覆盖问题规约到此问题，来证明该问题是NP-完全的。

对于图G=(V,E)，做处理转化为图G′=(V′,E′)：对于图G中的每条边uv∈E，添加辅助顶点w和辅助边uw,vw。证明图G中有不大于b的顶点覆盖，与图G′中有不大于b的占优集等价。

• 如果图G有不大于b的顶点覆盖S，对于G′中的每个顶点v，要么v∈S，要么v与S中的某个顶点为邻。用反证法来证明：假设此结论不成立，即存在顶点v∈V′，v∉S并且v不与S中的任一顶点相邻。 因为图G′是连通的，所以一定存在边uv∈E′且u∉S。S是图G的顶点覆盖，所以uv∉E，也就是uv是一条添加的辅助边。

  • 假设u为辅助顶点， v为非辅助顶点。因为v为非辅助顶点，所以v的所有的非辅助边都被S所覆盖，v一定与S中的某个顶点相邻。这与假设矛盾。
  • 假设u为非辅助顶点，v为辅助顶点。假设辅助顶点v所对应的非辅助边为uw。因为uw被S所覆盖，u∉S，所以w∈S。对于v，存在边vw使得v与S中的某个顶点相邻。这与假设矛盾。

  证得结论。

• 如果图G’有不大于b的控制集D，则对于G中的每条边uv，如果u，v中任意一个属于或者两个都属于D，那么边uv已经被D所覆盖。如果u，v都不属于D，那么需要调整D使得D覆盖边uv：如果uv边的辅助顶点w属于D，那么用u或v来替换w；如果w不属于D，那么对于辅助顶点w，不与D中的任一顶点相邻（仅与u,v相邻，u,v 不属于D），得出D不是覆盖集的结论，这与假设相矛盾。经过处理后可以G的不大于b的顶点覆盖。

已经证明得知顶点覆盖问题为NP完全问题，所以占优集问题也是一个NP完全问题。