剑指Offer之斐波那契数列问题

题目要求

查找斐波纳契数列中第 N 个数。所谓的斐波纳契数列是指：

• 前2个数是 0 和 1 .第 i 个数是第 i-1 个数和第i-2 个数的和。

斐波纳契数列的前10个数字是：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ...

样例：

给定 1，返回 0

给定 2，返回 1

给定 10，返回 34

解题思路：

我们可以使用递归和循环两种方式，通常递归会比较简洁，并且更容易实现。不过，虽然递归有简洁的优点，但是它同时也有显著的缺点。递归由于是函数调用本身，而函数调用是有时间和空间的消耗的：每一次函数的调用，都需要在内存栈中分配空间以保存参数，返回地址以及临时变量，而且往栈中压入和弹出数据都需要时间；另外递归中有可能有很多计算都是重复的，从而对性能带来了很大的负面影响。但是对于递归来讲，除了效率最严重的事情就是有可能发生调用栈溢出。

以递归的方式实现：

public class Fibonacci {        public static long fibonacci(int n) {            if (n <= 1) {                return 0;            }            if (n == 2) {                return 1;            }            return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);        }        public static void main(String[] args) {            int num = 10;            System.out.println(fibonacci(num));        }    }

这种递归的实现方式时间复杂度是以n的指数的方式增长的。

改进的方法

递归的方法会慢的原因是由于重复的计算导致的，我们避免重复计算，采用从下往上进行计算，从f(0)和f(1)计算出f(2),之后以此类推，这种方法的时间复杂度为O(n)。

class Solution {    /**     * @param n: an integer     * @return an integer f(n)     */    public int fibonacci(int n) {        // write your code here        if (n <= 1) {            return 0;        }        if (n == 2) {            return 1;        }        int fibNMinusOne = 1;        int fibNMinusTwo = 0;        int fibN = 0;        for (int i = 3; i <= n; ++i) {            fibN = fibNMinusOne + fibNMinusTwo;            fibNMinusTwo = fibNMinusOne;            fibNMinusOne = fibN;        }        return fibN;    }}

继续改进的解法：

具体的实现是根据一个很生僻的数学公式进行求解的，这种算法只需要知道就可以，具体面试的时候很少会有面试官会让实现这种算法，因此我们只是了解一下这种算法的公式。具体的公式网上有，主要也是应用了二分法这种思想进行优化的，在这我就不多说了，有时间我会亲自实现一下的。

相关的题型：

与本题相同思路的还有Leetcode中的70题Climbing Stairs，该题具体的说明和解法，我会在Leetcode系列文章中更新。

还有Lintcode中的111题爬楼梯，在此一并写出：

题目描述：

假设你正在爬楼梯，需要n步你才能到达顶部。但每次你只能爬一步或者两步，你能有多少种不同的方法爬到楼顶部？

样例：

比如n=3，1+1+1=1+2=2+1=3，共有3中不同的方法返回 3

具体的实现：

    public class Solution {        /**         * @param n: An integer        * @return: An integer        */        public int climbStairs(int n) {            // write your code here            if (n <= 0) {                return 1;            }            if (n == 1) {                return 1;            }            if (n == 2) {                return 2;            }            int firstStep = 1;            int secondStep = 2;            int currentStep = 0;            for (int i = 3; i <= n; ++i) {                currentStep = firstStep + secondStep;                firstStep = secondStep;                secondStep = currentStep;            }            return currentStep;        }}

lintcode中还有一道类似题392.打劫房屋，这道题应用动态规划，以后遇到了在进行详细分析。