【考研数学】泰勒公式

前言

    最近被考研虐成狗了，这里面最让小编潸然泪下的就属高数了。有人说数学是用世界上最美最简洁的语言描述最本质的规律，是美，不但美还抽象。（怪我不会欣赏~）下面就说说很腻害的泰勒吧。

心累历程

狗 - sin狗 = 1/6 * 狗^3 ;cosX = 1- x^2/2! + x^4/4! + O(x^4);

    对比sinX和cosX，它们都是正负相间，sinX的分母是奇数的阶乘，cosX的分母是偶数的阶乘，分母是几的阶乘分子就是x的几次方；sinX/cosX=x^n/n!

arcsin狗 - 狗 = x^3/6 + O(x^3);

    arcA和A除了符号不一样，其余的都一样；如果A是正负相间的，那arcA就是全正的，如果A是全正的，那arcA就是正负相间的。

tan狗 - 狗 = 狗^3/3 ;狗 - arctan狗 = 狗^3/3;

    tan 家族分母是奇数但不是奇数的阶乘，tan 是全正，arctan是正负相间，这是tan家族和sin家族的区别。

ln(1+x)= x - x^2/2 + x^3/3 + O(x^3);e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + O(x^3);

    指对数家族是按照非负整数 0 1 2 3 这样排的。ln 分母是1 2 3 ， 正负相间；e^x 分母是1 2 3 的阶乘，全正；可以这样记：指数上升快所以都是正号，但是和ln 本是同根生为什么e^x就这么吊可以累加，所以为了公平起见就让e^x的分母大点变成阶乘。（好，皆大欢喜~~）

(1+x)^a = 1 + ax + a(a - 1)x^2/2! + O(x^2);

    幂指数比较奇葩，分母还是非负整数，全正，但是分子有了一些变化。分子第一项就乘以a， 第二项就乘以a(a-1);

    ps: 这几个公式中涉及到分母从0开始的有cos(分母为偶数)，ln，e^x,(1+x)^a,后三个分母都是连续的非负整数；这4个中除了ln，其余三个都有1，为什么呢？且听小编慢慢编来。因为lnX在x = 0 处没定义，而cosX, e^x, (1+x)^a 在x = 0 时都等于1。(是不是貌似挺有道理的）

小结

    泰勒公式是求极限化简，求积分的神器。不管什么妖魔鬼怪到泰勒这里都能给化成幂函数的形式，不得不佩服泰勒，这么难的公式，理解都费劲，他是怎么推出来的。不看世界不知道自己的渺小，不学高数。。。