感知神经网络模型与学习算法

单层感知器

该概念的是在1957年美国学者Rosenblatt提出的。

感知器是监督学习的神经网络模型。单层感知器是包含一个突触权值可调的神经元的感知器模型。是神经网络用来进行模式识别的一种最简单的模型，属于前向神经网络类型，但是仅由一个神经元组成的单层感知器只能区分线性可分的模式。

一个感知器模型，包括一个线性的累加器和一个二值阈值元件，同时还有一个外部偏差b，也称作阈值，其值可以为正，也可以为负。线性累加器的输出与偏差b的和作为二值阈值元件的输入，这样当二值阈值原件的输入是正数时，神经元就产生输出+1，反之，若输入是负数，则产生输出-1

在m维空间，单层感知器进行模式识别的判决超平面由下面的式子决定：

∑i=1mωixi+b=0

决定判别边界超平面的形状的主要参数是权值向量ω→ 其训练过程就是找到适合的学习算法可以训练出满意的权值向量。

在20世纪60年代初期，Rosenblatt等就给出了严格的数学证明对线性可分的样本，算法一定是收敛的，就是说ω→ 一定存在，否则，判别边界会产生振荡，导致ω→ 不能收敛。

单层感知器的学习算法

该学习算法是基于迭代思想，通常是采用误差校正学习规则的学习算法。将偏差b作为神经元突触全职向量的第一个分量加到权值向量中去，那么对应的输入向量也应增加一项，可设输入向量的第一个分量固定为+1，这样输入向量和权值向量可分别写成如下的形式：

X(n)=(+1,x1(n),x2(n),⋯,xm(n))T

W(n)=(b(n),ω1(n),ω2(n),⋯,ωm(n))

其中n为迭代次数。b(n)可用ω0(n) 来表示，于是，二值阈值元件的输入可重新写为：

v=∑i=0mωi(n)xi(n)=WT(n)X(n)

具体学习算法如下：

1. 设置变量和参量
   X(n)=(1,x1(n),x2(n),⋯,xm(n)) 即训练样本。
   W(n)=(b(n),ω1(n),ω2(n),⋯,ωm(n)) 为权值向量。
   b(n)为偏差 f(⋅) 为激活函数， y(n)为网络实际输出，d(n)为期望输出， η 为学习速率，n为迭代次数，e为实际输出与期望输出的误差。
2. 初始化，给权值向量W(0)的各个分量赋一个较小的随机非零值， 设置n=0
3. 输入一组样本X(n)=(1,x1(n),x2(n),⋯,xm(n)) 并给出它的期望输出d(n)
4. 计算实际输出 y(n)=f(∑mi=0ωi(n)xi(n))
5. 求出期望输出和实际输出的误差， e=d(n)−y(n) ，根据误差判断目前输出是是否满足条件，若满足条件则算法结束，否则将n值加1，并用下式调整权值
   ω(n+1)=ω(n)+η[d(n)−y(n)]X(n)

在单层感知器学习算法中，最关键的因素是引入了一个量化的期望输出，这样就可以采用误差校正学习规则对权值向量逐步进行修正，最终达到问题所需的精度。

对于线性可分的两类模式，可以证明单层感知器的学习算法是收敛的，即通过调整神经网络各个链接权值可以得到合适的判别边界，正确区分两类模式；而对于线性不可分的两类模式，无法用一条直线区分两类模式，此时，单层感知器的学习算法不是收敛的，即单层感知器无法正确区分线性不可分的两类模式。