FIR数字滤波器设计——频率抽样法

1.频率抽样法设计线性相位FIR滤波器的思想

频率抽样法是从频域出发，在频域直接设计，把给定的理想频率响应加以等间隔抽样，并以此作为实际FIR滤波器的频率响应。设所需滤波器的频率响应为。

现要求设计一个M阶的FIR滤波器h[k]，使得在M+1个抽样点上，FIR滤波器的频率响应与所需的频率响应相等，即

由设计的要求给定，h[k]通过设计来确定。如果M+1个方程是线性无关的，则可以通过求解M+1阶的线性方程来得出FIR滤波器的h[k]。对的一些特殊抽样方法，上述方程的解可以直接由IDFT得到。由于要求设计出的滤波器是实系数的线性相位FIR滤波器，所以的抽样值还需要满足线性相位滤波器的约束条件。

 I型和II型线性相位滤波器的，III型和IV型线性相位滤波器的。为了使设计出的滤波器具有线性相位， 在M+1个抽样点上的值应为：

下面分别讨论四种线性相位滤波器在抽样点上的值。

2.Ⅰ型线性相位FIR滤波器

I型（M为偶数，h[k]偶对称）线性相位FIR滤波器在M+1个抽样点值为：

上式表明I型线性相位FIR滤波器在的值可由在的值确定。在的值确定后，对做M+1点的IDFT即可得到I型线性相位滤波器的h[k]。

3.Ⅱ型线性相位FIR滤波器

II型（M为奇数，h[k]偶对称）线性相位FIR滤波器在M+1个抽样点值为：

上式表明II型线性相位FIR滤波器在的值可由在的值确定。

4.Ⅲ型线性相位FIR滤波器

III型（M为偶数，h[k]奇对称）线性相位FIR滤波器在M+1个抽样点值为：

上式表明III型滤波器线性相位FIR滤波器在的值可由在的值确定。

5.Ⅳ型线性相位FIR滤波器

IV型（M为奇数，h[k]奇对称）线性相位FIR滤波器在M+1个抽样点值为：

上式表明IV型线性相位FIR滤波器在的值可由在的值确定。

6.小结

对进行频率抽样，就是在z平面单位圆上的N个等间隔点上抽样出频率响应值。在单位圆上可以有两种抽样方式，第一种是第一个抽样点在w=0处，第二种是第一个抽样点在w=pi/M处，每种方式可分为M为偶数与M为奇数两种。

为了提高逼近质量，使逼近误差更小，也就是减小在通带边缘由于抽样点的徒然变化而引起的起伏变化（这种起伏振荡使阻带内最小衰减变小，例如从衰减30dB变小为衰减20dB）。和窗口法的平滑截断一样，这里是使理想频率响应的不连续点的边缘加上一些过渡的抽样点（在这些点上抽样的最佳值由计算机算出），从而增加过渡带，减小频带边缘的突变，也就是减小了起伏振荡，增大了阻带最小衰减。这些抽样点上的取值不同，效果也就不同。如果精心设计过渡带的抽样值，就有可能使它的游泳频带的博文减小，从而设计出较好的滤波器。一般过渡带取一、二、三点抽样值即可得到满意结果。

在理想低通滤波器的设计中，若不增加过渡点，阻带和通带之间的衰减约为-21dB，如果在通带和阻带之间增加一个采样点，阻带的最小衰减可以提高到-65dB，如果增加两个采样点，阻带的最小衰减可以提高到-75dB，如果增加3个采样点，阻带的最小衰减可以提高到-85dB至-95dB。
频率抽样法的优点是可以在频域直接设计，并且适合于最优化设计；缺点是抽样频率只能等于2pi/M的整数倍或等于2pi/M的整数倍上加上pi/M，因而不能确保截止频率Wc的自由取值。要想实现自由选择频率，则必须增加抽样点数M，但这种计算量加大。