Tarjan 算法笔记

概念说明

Tarjan算法

Tarjan算法属于图论中的一个算法，主要用来求一个图中的强连通分量，之后就可以做很多事，比如说缩点、求双联通分支等。

强连通

在一个有向图中，对于几个点，如果它们能够互相到达，那么称它们强连通。

强连通分量

可以这样理解：把一个图里的点分成几坨，每坨中的点都能够互相到达（他们强连通），然后再把每一坨看成一个点，能保证这些“点”中没有互相强连通的”点“，那么这每一坨就都是一个强连通分量。
简单地说，一个有向图中，每个极大强连通子图称为它的一个强连通分量。

方法

void tarjan(int i)

开两个数组dfn和low分别代表搜索的时间顺序和它所能到达dfn最小的值；(定义在函数外部)
搜索到一个新的点 i，把它压到栈里面，再把它的dfn和low赋好(++time)；
再枚举每个 i 的儿子节点 j（即i能直接到达的点），按照下面处理

条件 方案 j已经在栈里面 low[i]=min(low[i],dfn[j]) j还没搜过(dfn[j]==0) 搜索j，即tarjan(j)，之后low[i]=min(low[i],low[j])

所有的 j 都枚举完且low[i]更新完后，若dfn[i]==low[i]，那么就说明当前的栈里面，i 以及它上面的元素能组成一个强连通分量，处理一下答案（弹出栈并依照题目要求做各种处理）。

原理

1. Tarjan算法基于定理：在任何深度优先搜索中，同一强连通分量内的所有顶点均在同一棵深度优先搜索树中。也就是说，强连通分量一定是有向图的某个深搜树子树。
2. 可以证明，当一个点既是强连通子图 Ⅰ 中的点，又是强连通子图 Ⅱ 中的点，则它是强连通子图 Ⅰ∪Ⅱ 中的点。
3. 这样，我们用low值记录该点所在强连通子图对应的搜索子树的根节点的Dfn值。注意，该子树中的元素在栈中一定是相邻的，且根节点在栈中一定位于所有子树元素的最下方。
4. 强连通分量是由若干个环组成的。所以，当有环形成时（也就是搜索的下一个点已在栈中），我们将这一条路径的low值统一，即这条路径上的点属于同一个强连通分量。
5. 如果遍历完整个搜索树后某个点的dfn值等于low值，则它是该搜索子树的根。这时，它以上（包括它自己）一直到栈顶的所有元素组成一个强连通分量。

(此段参考http://blog.csdn.net/xinghongduo/article/details/6195337)

一些小问题

1. 在学习时，总是纠结在tarjan中为什么”要是j在栈里面，则low[i]=min(low[i],dfn[j])”，要是用low[j]会怎么样呢？然而在oj上测过之后，发现用 low[j] 实际上也没问题！

代码

主要过程：

void tarjan(int p){    dfn[p]=low[p]=++time;    st[++stnum]=p;    _st[p]=1;    for (int k=head[p],q=A[k].number; k; k=A[k].next,q=A[k].number){        if (!dfn[q]){            tarjan(q);            low[p]=min(low[p],low[q]);        }        else if (_st[q]) low[p]=min(low[p],dfn[q]);    }    if (dfn[p]==low[p]) doans(p);}

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