≪统计学习精要(The Elements of Statistical Learning)≫课堂笔记（九）

眼瞅着这学期也快接近尾声了，也在讲我越来越不熟悉的东西了...

核平滑与局部方法

1. 核平滑器

(1) K-NN（K近邻）

KNN的思想已经说过很多遍了，大致就是找点x的k个近邻，然后取其yi

平均值作为x点y的预测值y^。不过这里我们就在想了，可不可以加权呀~于是从最简单的y^=1k∑xi∈Nk(x)yi，我们给他按距离算个加权平均：y^=∑xi∈Nk(x)wiyi,其中wi

代表权重，离x点越近越大，越远越小。这样听起来更make sense一点嘛~近朱者赤，近墨者黑。

(2) 单峰函数

顾名思义，就是长得像一个山峰的函数，比如我们最经典的正态钟型函数，或者翻过来的二次抛物线函数等等。

(3) 权重（按距离）

我们定义权重kλ(x,xi)=D(∥x−xi∥2λ)

，再进一步归一化：kλ(x,xi)∑Nj=1kλ(x,xj),1≤i≤N

。

多维的情况下，写成矩阵形式就是kλ(x,xi)=D((x−xi)′A(x−xi)λ)

，其中A为正定对角阵，然后我们就可以加权了。

2. 局部方法

(1) 一般概念

我们有数据集D={(xi,yi),1≤i≤N}

，然后定义函数族F={f(x|θ),θ∈Θ}。再定义损失函数L(y,f(x)), 我们的目标就是最小化∑iL(yi,f(xi))

。

相应的引入了加权的概念之后，我们就可以定义加权损失函数：∑ikλ(x,xi)∑Nj=1kλ(x,xj)L(yi,f(xi|θ))

，然后对于每个x做优化，寻找使其最小化的θ

。

(2) 具体例子

(i) 局部回归： y=f(x|θ)=θ′x=∑pj=1θjxj

，则损失函数为∑N1k¯λ(x,xi)[yi−f(xi|θ)]2，其中k¯λ(x,xi)

代表已经归一化的权重。

在线性的情况下，我们有∑N1k¯λ(x,xi)[yi−∑p1θjxij]2

，有点类似于我们常见的加权最小二乘法。这里的思想也是，在x点附近的点权重会比较大，离x远的权重则比较小，整体感觉就是在x点附近做了一个回归分析。

(ii) 局部似然：和局部回归蛮像的，只是把损失函数换成（对数）似然函数，即从最大化 ∑N1logP(yi|xi,θ)

到现在的最大化加权似然函数∑N1k¯λ(x,xi)logP(yi|xi,θ)

。

3. 密度估计与分类

(1) 密度与分类: 我们有x和观测结果G的联合分布：P(x,G)=P(G)P(x|G)

，其中p(G)为先验的结果分布，在有K类结果的情况下，写成πk=P(G=k)。这样，也可以写开为Pk(x)=P(x|G=k), 其中1≤k≤K

。

反过来，后验概率P(G|x)=P(G,x)P(x)=πkPk(x)∑K1πlPl(x)

，所以我们有贝叶斯分类器G^=argmaxP(G|x)

。

(2) 密度估计

为了使用贝叶斯分类器，我们需要先对密度进行估计。

(i) 直方图： 最简单的就是根据直方图来估计密度，这个没什么好说的...

(ii) 核估计方法（Parzen）：Parzen提出的核密度估计为f(x)^=1Nkλ(∥x−xi∥2λ)=1N∑Ni=112πσ2√e−(x−xi)22σ2

，该估计当N→∞且σ在减小的时候，收敛于f(x)

。

4. 核作为基函数

密度函数f(x)=∑Ni=1wikλ(∥x−xi∥2λ)

，然后定义函数族F={∑Ni=1wik(∥x−xi∥2λ)}，则其中wi我iyigexianxingde参数，k为指定的函数类，λ亦为函数参数。这样的话我们有三个函数的参数，指定某一个便可以简化函数形式。不过这里的问题是，没有很好的算法来求解优化问题。比如对于正态分布，我们以写出来min{wi},{σj},{μj}L=min{wi},{σj},{μj}∑Ni=1(yi−∑mj=1wj12πσ2j√e−(xi−μj)22σ2j)

，然后的求解就比较复杂了。

上面的两个是非参数方法，下面说一些参数方法。

(iii) 混合模型（GMM, Gauss Mixed Model）

f(x|θ)=∑Kk=1πk12πσ2k√e−(x−μk)22σ2k

，其中参数有θ={{πk},{μk},{σk}}，然后可以利用最大似然准则，最大化∏Ni=1f(xi|θ)=maxθ∑Ni=1logf(xi|θ)

，具体算法可用EM，下节课详述。

-----稍稍跑题------

GMM，我印象中它怎么是 Generalized Moment Method, 广义矩估计呢？果然是被计量经济学祸害太深了...