计算机视觉中的多视图几何——点与直线的关系

直线的齐次表示 平面上的一条直线可用形如ax+ by + c = 0的方程表示，α,b和c 的不同值给出不同的直线.因此，一条直线也可以用矢量(a,b,c)T表示.直线和矢量(α,b,c)T 不是一一对应的，因为，对任何非零常数k， 直线ax+by+c=0与直线(ka ) x + (kb) y + (kc) = 0相同.因此，对任何非零k，矢量(a, b,c)T与k(a, b, c)T表示同一直线.事实上，我们视这两个只相差一个全局缩放因子的矢量是等价的.这种等价关系下的矢量等价类被称为齐次矢量.

点的齐次表示 点x=(x.y)T在直线l=(a,b,c)T上的充要条件是ax+by+c=O. 并可用矢量内积形式把它表示为(x,y,1)(α,b,c )T= (x,y,1)l =0;即把"1 "作为增加的最后一个坐标使IR2中的点(x.y)T表示成3 维矢量.注意对任何非零k 和直l，方程(ka,kb,kc)I=0的充要条件是(α,b,1)I=0因而，我们自然把由k不为零的不同值所构成的矢量集(kx,ky，kz)T看作是IR1中点(x，y)T的一种表示.因此，与直线一样3点也可用齐次矢量表示. 一个点的任何齐次矢量的表示形式为x=(x1,x2,x3)T， 并表示IR2的点x=(x1/x3 ,x2/x3)T. 于是点作为齐次矢量同样也是IR2的元素.
结论1 点x在直线l 上的充要条件是xTl=0.
注意:表达式xTI 就是两矢量x和l 的内积或标盘积，即xTI=ITX=X. 1. 一般，我们更喜欢采用转置记号ITX，偶尔，也用一个"· "来表示内积.注意区分一个点的齐次坐标:x=(x1，x2，x3)T它是3维矢量; 与非齐次坐标: (x, y) T ，它是2维矢量.
直线的交点 给定两直线I =(a, b, c)T和1' =(α',b' , c')T，我们希望求它们的交点.定义矢量x= 1 × l' ，这里×表示矢量积或叉积.由三重纯量积等式:l·(I × l')=l'·(I×l') =0. 推出ITx=I'Tx=0因此，如果把x视为一个点，则x同时在两条直线I 和l'上，因而是两线的交点.这表明:
结论2 两直线I 和l'的交点是点x=l × l'
注意: 两直线交点的表示之所以这样简洁是因为采用了直线和点的齐次坐标表示.

点的连线 过两点x和x'的直线的表示式可完全类似地导出.定义直线l=x × x' ，并不难验证点x和x' 都在l上.因此

结论4 过两点x和x' '的直线是l=x × x' .

之前看了很久没看明白为什么成立，现在终于明白原因了。。。

摘自《Multiple View Geometry in Computer Vision》