dijkstra最短路算法

Dijkstra算法

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

 

2.算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

 

执行动画过程如下图

 

3.算法实例

先给出一个无向图

用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下

 4.program：（不是上面这道题的代码）

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<algorithm>using namespace std;int n[1005], vis[1005], dis[1005], Map[1005][1005];const int INF = 0x3f3f3f3f;int N, M, P, Q;void dijstar(int x){    memset(vis, 0, sizeof(vis));    vis[x] = 1;   //标记某个点是否被松弛过    for(int i = 1; i <= M; i++)        dis[i] = Map[x][i];   //初始化第一个点都别的各点距离    for(int i = 1; i <= M; i++) //遍历所有点求到每个点的距离    {        int min2 = INF;        int temp;        for(int j = 1; j <= M; j++) // 寻找下一个离当前点最近的的点            if(!vis[j] && dis[j] < min2)            {                min2 = dis[j];                temp = j;            }        if(min2 == INF)            break;        vis[temp] = 1; //标记该点已经被松弛过        for(int j = 1; j <= M; j++)            if(Map[temp][j] < INF && dis[j] > dis[temp] + Map[temp][j])            {                dis[j] = dis[temp] + Map[temp][j];            }    }}int main(){    int T;    scanf("%d", &T);    while(T--)    {        scanf("%d%d%d%d", &N, &M, &P, &Q);        for(int i = 1; i <= M; i++)            for(int j = 1; j <= M; j++)            {                if(i == j) Map[i][j] = 0;                else                    Map[i][j] = INF;            }        for(int i = 1; i <= N; i++)            scanf("%d", n+i);        for(int i = 0; i < P; i++)        {            int x, y, z;            scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);            Map[x][y] = Map[y][x] = z;        }        int min1 = INF;        dijstar(Q);        for(int i = 1; i <= N; i++)        {            if(dis[n[i]] < min1)                min1 = dis[n[i]];        }        printf("%d\n", min1);    }    return 0;}