整数划分

来源：互联网发布：懂球帝软件编辑：程序博客网时间：2024/05/16 08:45

/***@author StormMaybin*@date 2016-11-30*/

生命不息，奋斗不止。

各种整数划分问题

将n划分成不大于m的划分法：
　　1. 若是划分多个整数可以存在相同的：
　　 dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m] dp[n][m]表示整数 n 的划分中，每个数不大于 m 的划分,则划分数可以分为两种情况:
　　a. 划分中每个数都小于 m，相当于每个数不大于 m- 1, 故划分数为 dp[n][m-1].
　　 b. 划分中有一个数为 m. 那就在 n中减去 m ,剩下的就相当于把 n-m 进行划分，故划分数为 dp[n-m][m];
　　2. 若是划分多个不同的整数：
　　dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m-1] dp[n][m]表示整数 n 的划分中，每个数不大于 m 的划分,同样划分情况分为两种情况：
　　a.划分中每个数都小于m,相当于每个数不大于 m-1,划分数为 dp[n][m-1].
　　b.划分中有一个数为 m.在n中减去m,剩下相当对n-m进行划分，并且每一个数不大于m-1，故划分数为 dp[n-m][m-1];
将n划分成k个数的划分法：
　　　　dp[n][k]= dp[n-k][k]+ dp[n-1][k-1];
方法可以分为两类：
　　　　第一类: n 份中不包含 1 的分法，为保证每份都 >= 2，可以先拿出 k 个 1 分到每一份，然后再把剩下的 n- k 分成 k 份即可，分法有: dp[n-k][k];
　　　　第二类: n 份中至少有一份为 1 的分法，可以先拿出一个 1 作为单独的1份，剩下的 n- 1 再分成 k- 1 份即可，分法有：dp[n-1][k-1];
将n划分成若干奇数的划分法:
g[i][j]:将i划分为j个偶数
f[i][j]:将i划分为j个奇数
g[i][j] = f[i - j][j];
f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + g[i - j][j];

练习

Problem Description
“Well, it seems the first problem is too easy. I will let you know how foolish you are later.” feng5166 says.

“The second problem is, given an positive integer N, we define an equation like this:
N=a[1]+a[2]+a[3]+…+a[m];
a[i]>0,1<=m<=N;
My question is how many different equations you can find for a given N.
For example, assume N is 4, we can find:
4 = 4;
4 = 3 + 1;
4 = 2 + 2;
4 = 2 + 1 + 1;
4 = 1 + 1 + 1 + 1;
so the result is 5 when N is 4. Note that “4 = 3 + 1” and “4 = 1 + 3” is the same in this problem. Now, you do it!”

Input
The input contains several test cases. Each test case contains a positive integer N(1<=N<=120) which is mentioned above. The input is terminated by the end of file.

Output
For each test case, you have to output a line contains an integer P which indicate the different equations you have found.

Sample Input

4
10
20

Sample Output

5
42
627

package com.stormma.dp;import java.util.Scanner;public class Main1028{    public Main1028()    {        Scanner scan = new Scanner(System.in);        while (scan.hasNext())        {            // 对n进行不大于n的划分            // dp[n][m]表示n的不大于m的划分            int n = scan.nextInt();            int[][] dp = new int[n + 1][n + 1];            init(dp, n + 1);            for (int i = 2; i < n + 1; i++)            {                for (int j = 2; j < n + 1; j++)                {                    if (j <= i)                        dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - j][j];                    else                        dp[i][j] = dp[i][i];                }            }            System.out.println(dp[n][n]);        }    }    private void init(int[][] dp, int n)    {        // TODO Auto-generated method stub        for (int i = 1; i < n; i++)        {            dp[i][1] = dp[1][i] = dp[0][i] = 1;        }    }    public static void main(String[] args)    {        new Main1028();    }}

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