四元数初学

来源：互联网发布：手机mac地址伪装编辑：程序博客网时间：2024/06/07 02:49

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根据我的理解，大多数人用汉密尔顿四元数就只是做三维空间的旋转变换（我反正没见过其他用法）。那么你不用学群论，甚至不用复习线性代数，看我下面的几张图就可以了。

首先，定义一个你需要做的旋转。旋转轴为向量 $v=(vx,vy,vz)$ ，旋转角度为 $\theta$ （右手法则的旋转）。如下图所示：
此图中 $v=(\frac{1}{\sqrt{14} } ,\frac{2}{\sqrt{14} } ,\frac{3}{\sqrt{14} })$ , $\theta =\frac{\pi }{3}$

那么与此相对应的四元数（下三行式子都是一个意思，只是不同的表达形式）
$q=(cos(\frac{\theta }{2} ),sin(\frac{\theta }{2} )*vx,sin(\frac{\theta }{2} )*vy,sin(\frac{\theta }{2} )*vz)$
$q=(cos(\frac{\pi }{6} ),sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{1}{\sqrt{14} } ,sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{2}{\sqrt{14} },sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{3}{\sqrt{14} })$
$q=cos(\frac{\pi }{6} )+sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{1}{\sqrt{14} }i +sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{2}{\sqrt{14} }j+sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{3}{\sqrt{14} }k$

这时它的共轭（下三行式子都是一个意思，只是不同的表达形式），
$q^{-1} =(cos(\frac{\theta }{2} ),-sin(\frac{\theta }{2} )*vx,-sin(\frac{\theta }{2} )*vy,-sin(\frac{\theta }{2} )*vz)$
$q^{-1} =(cos(\frac{\pi }{6} ),-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{1}{\sqrt{14} } ,-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{2}{\sqrt{14} },-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{3}{\sqrt{14} })$
$q^{-1} =cos(\frac{\pi }{6} )-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{1}{\sqrt{14} }i -sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{2}{\sqrt{14} }j-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{3}{\sqrt{14} }k$

如果你想算一个点 w=(wx,wy,wz)

在这个旋转下新的坐标 $w^{'}$ ,需要进行如下操作，
1.定义纯四元数
qw=(0,wx,wy,wz)=0+wx*i+wy*j+wz*k

2.进行四元数运算
$qw^{'} =q*qw*q^{-1}$
3.产生的 $qw^{'}$ 一定是纯四元数，也就是说它的第一项为0，有如下形式：
$qw^{'} =(0,wx^{'},wy^{'},wz^{'})=0+wx^{'}*i+wy^{'}*j+wz^{'}*k$
4. $qw^{'}$ 中的后三项 $(wx^{'},wy^{'},wz^{'})$ 就是 $w^{'}$ ：
$w^{'} =(wx^{'},wy^{'},wz^{'})$
这样，就完成了一次四元数旋转运算。

同理，如果你有一个四元数：
$q=(q1,q2,q3,q4)=(cos(\frac{\theta }{2} ),sin(\frac{\theta }{2} )*vx,sin(\frac{\theta }{2} )*vy,sin(\frac{\theta }{2} )*vz)$
那么，它对应一个以向量 v=(vx,vy,vz)

为轴旋转 $\theta$ 角度的旋转操作（右手法则的旋转）。

作者：Yang Eninala
链接：https://www.zhihu.com/question/23005815/answer/33971127
来源：知乎
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