算法总结（二）图

图

图是算法中应用非常广泛的数据结构

图的定义

图有两个集合

• 非空集合V(G) 代表图所有的节集
• 可能为空的集合E(G) 代表图的边集
• 节点的数量记为 |V|, 边的数量记为|E|

图与树的不同点

• 不需要root节点
• 没有父子关系
• 可能有多条边连接两个节点

无向图

如果u,v是两个节点
那么 (u,v) 表示一条无向边

有向图

如果u,v是两个节点
那么<u,v>表示一条有向边 节点u是起点 v是终点

图的性质

• 1.无向图的边是无序的 (v0, v1) = (v1,v0)
• 2.有向图的边是有序的<v0,v1>!=<v1,v0>
• 3.完全图所拥有的的边的数量：
  
  • 无向图 n(n-1)/2
  • 有向图 n(n-1)
• 4.如果图的边数 e<nlog(n) 该图为稀疏图，否则为稠密图
• 5.边权

图的度

图中的度：所谓顶点的度(degree)，就是指和该顶点相关联的边数。
在有向图中，度又分为入度和出度。
入度 (in-degree) ：以某顶点为弧头，终止于该顶点的弧的数目称为该顶点的入度。
在某顶点的入度和出度的和称为该顶点的度
(a)中Vo的入度为1，出度为2，度为3。
(b)中V2的度为3。

连通图

在图论中，连通图基于连通的概念。在一个无向图 G 中，若从顶点vi到顶点vj有路径相连（当然从vj到vi也一定有路径），则称vi和vj是连通的。如果 G 是有向图，那么连接vi和vj的路径中所有的边都必须同向。如果图中任意两点都是连通的，那么图被称作连通图。如果此图是有向图，则称为强连通图（注意：需要双向都有路径）。图的连通性是图的基本性质。

• 连通分量：无向图 G的一个极大连通子图称为 G的一个连通分量（或连通分支）。连通图只有一个连通分量，即其自身；非连通的无向图有多个连通分量。
• 强连通图：有向图 G=(V,E) 中，若对于V中任意两个不同的顶点 x和 y，都存在从x到 y以及从 y到 x的路径，则称 G是强连通图。相应地有强连通分量的概念。强连通图只有一个强连通分量，即是其自身；非强连通的有向图有多个强连分量。
• 单向连通图：设G=<V,E>是有向图，如果u->v意味着图G至多包含一条从u到v的简单路径，则图G为单连通图。
• 弱连通图：将有向图的所有的有向边替换为无向边，所得到的图称为原图的基图。如果一个有向图的基图是连通图，则有向图是弱连通图。

连通图性质

一个无向图 G=(V,E) 是连通的，那么边的数目大于等于顶点的数目减一：|E|>=|V|-1，而反之不成立。
如果 G=(V,E) 是有向图，那么它是强连通图的必要条件是边的数目大于等于顶点的数目：|E|>=|V|，而反之不成立。
没有回路的无向图是连通的当且仅当它是树，即等价于：|E|=|V|-1。