多元统计学习日记2

来源：互联网发布：squid windows配置编辑：程序博客网时间：2024/05/22 05:51

1. 混合积

解析：设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是空间中三个向量，则( $\vec{a}$ × $\vec{b}$ )· $\vec{c}$ 称为三个向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 的混合积，记作[ $\vec{a}$ $\vec{b}$ $\vec{c}$ ]或( $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ )或( $\vec{a}$ $\vec{b}$ $\vec{c}$ )，|( $\vec{a}$ × $\vec{b}$ )· $\vec{c}$ |的几何意义表示以 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 为棱的平行六面体的体积。如下所示：

（1）( $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ ) = ( $\vec{b}$ , $\vec{c}$ , $\vec{a}$ ) = ( $\vec{c}$ , $\vec{a}$ , $\vec{b}$ ) = -( $\vec{b}$ , $\vec{a}$ , $\vec{c}$ ) = -( $\vec{a}$ , $\vec{c}$ , $\vec{b}$ ) = -( $\vec{c}$ , $\vec{b}$ , $\vec{a}$ )

（2）三个向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面的充分必要条件是( $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ )=0。

（3）如果 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 中有至少两个向量共线，那么( $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ )=0。

2. 直线方程：法向式

解析： $\vec{a}$ (x-x0) + $\vec{b}$ (y-y0) = 0表示过点(x0, y0)且与向量( $\vec{a}$ , $\vec{b}$ )垂直的直线。

3. 图像的一阶导数和二阶导数

解析：

（1）一阶导数

$\Delta _{x}f\left ( x,y \right )=f\left ( x+1,y \right )-f\left ( x,y \right )$ ； $\Delta _{y}f\left ( x,y \right )=f\left ( x,y+1 \right )-f\left ( x,y \right )$

说明：图像中最右一列和最后一行像素的梯度无法求得。

（2）二阶导数

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=f\left ( x+1,y \right )-2f\left ( x,y \right )+f\left ( x-1,y \right )$ ； $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=f\left ( x,y+1 \right )-2f\left ( x,y \right )+f\left ( x,y-1 \right )$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=f\left ( x+1,y+1 \right )+f\left ( x,y \right )-f\left ( x,y+1 \right )-f\left ( x+1,y \right )$

说明：一阶导数反应图像灰度梯度的变化情况；二阶导数提取图像细节同时双响应图像梯度变化情况。

4. 协变量

解析：在实验的设计中，协变量是一个独立变量（解释变量），不为实验者所操纵，但仍影响实验结果。

5. Gram矩阵

解析：设 $\vec{x_{1}},\vec{x_{2}},...,\vec{x_{n}}$ 是内积空间中的 $n$ 个向量，矩阵

$((\vec{x_{i}},\vec{x_{j}}))_{n \times n}=\begin{pmatrix} (\vec{x_{1}},\vec{x_{1}}) & ... & (\vec{x_{1}},\vec{x_{n}})\\ ... & ... & ... \\ (\vec{x_{n}},\vec{x_{1}}) & ... & (\vec{x_{n}},\vec{x_{n}}) \end{pmatrix}$