【矩阵相关】[Codeforces - 736D]Permutations

题目大意

n个的排列，给你m条规则，规则是一个数对(ai,bi)，代表数字bi可以放在第ai个位置。
对于每一条规则，如果我们删掉它，符合剩下的规则的排列数如果是奇数，就输出YES，否则输出NO。

分析

首先，我们可以把这些规则表示成邻接矩阵。
那本来的排列数就是邻接矩阵的积和式，但是我们无法快速计算积和式，但是我们只需要知道奇偶性。
考虑一下求积和式的式子。

per A=∑p∈Sn∏i=1nai,p(i)

Sn是n阶置换群。
求行列式的式子呢？

|A|=∑p∈Sn(−1)t(p)∏i=1nai,p(i)

t(p)表示p的逆序对数。
在模2意义下，−1≡1(mod2)
这两个式子是相同的呢，那我们考虑行列式就行了。
如果将矩阵中的一个元素aij由1变成0，那改变的值就是aij的代数余子式，记作mij，即在原矩阵中将第i行和第j列删掉之后的矩阵行列式。如何快速求代数余子式呢？

A∗表示A的伴随矩阵，bij=(−1)i+jmij
A−1表示A的逆矩阵，cij=bij|A|
mij≡cij×|A|
最终答案的奇偶性就是|A|−cij×|A|
显然，当|A|是偶数时，最终答案一定是偶数。
当|A|是奇数的时候，显然可以求出矩阵再模2意义下的逆元，那么当cij是奇数时，最终答案就是偶数，否则就是奇数。

代码

#include<cstdio>#include<algorithm>#include<bitset>#define MAXM 500000using namespace std;template<class T>void Read(T &x){    char c;    bool f(0);    while(c=getchar(),c!=EOF)        if(c=='-')            f=1;        else if(c=='?'){            x=-1;            return;        }        else if(c>='0'&&c<='9'){            x=c-'0';            while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9')                x=x*10+c-'0';            ungetc(c,stdin);            if(f)                x=-x;            return;        }}bitset<2001>a[2001],inv[2001];int n,m;bool flag;typedef pair<int,int>pii;pii b[MAXM+10];void read(){    int u,v,i;    Read(n),Read(m);    for(i=1;i<=m;i++){        Read(u),Read(v);        a[u][v]=1;        b[i]=pii(v,u);    }    for(i=1;i<=n;i++)        inv[i][i]=1;}void gaussian_jordan(){    int i,row,col;    for(row=col=1;row<=n;row++,col++){        for(i=row;i<=n&&!a[i][col];i++);        if(i>n){            flag=1;            break;        }        if(i!=row)            swap(a[i],a[row]),swap(inv[i],inv[row]);        for(i=1;i<=n;i++)            if(i!=row&&a[i][col])                a[i]^=a[row],inv[i]^=inv[row];    }}void solve(){    gaussian_jordan();    int i;    for(i=1;i<=m;i++)        if(flag||inv[b[i].first][b[i].second])            puts("NO");        else            puts("YES");}int main(){    read();    solve();}