素数

1.质因数分解
2.素数测试
3.欧拉函数
4.大数分解与素数判定

素数又称质数，有无限个。除了1和它本身以外不再有其他的除数整除。

算术基本定理:每个大于1的自然数均可写为质数的积，而且这些素因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。例如：6936=2^3*3*17^2，1200=2^4*3*5^2。

1.质因数分解
每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数叫做这个合数的素因数。把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做质因数分解。
一般我们用短除法分解素因数，算法步骤如下：
1.先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除。
2.得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止。
3.然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式。
注意：由于任何一个合数n至多会有一个大于根号n的因子。

int cut=0;//素因子个数for(int=2;i*i<=n;i++){    if(n%i==0)    {        ++cut;        p[cut]=i;//存素因子        num[cut]=0;//每个素因子的指数![这里写图片描述](http://img.blog.csdn.net/20161203163258807)        while{n%i==0}        {            ++num[cut];//每个素因子的指数            n/=i;        }    }}if(n>1){    ++cut;    p[cut]=n;    num[cut]=1;}

举例

#include<iostream>#include<cstring>using namespace std;int cnt,num[10010],p[10010];void a(int n){    cnt=0;    memset(num,0,sizeof(num));    memset(p,0,sizeof(p));    for(int i=2;i*i<=n;i++)    {        if(n%i==0)        {            ++cnt;            p[cnt]=i;            num[cnt]=0;            while(n%i==0)            {                ++num[cnt];                n/=i;            }        }    }    if(n>1)    {        ++cnt;        p[cnt]=n;        num[cnt]=1;    } }int main(){    int n;    while(cin>>n){    a(n);    cout<<n<<"="<<p[1]<<"^"<<num[1];    for(int i=2;i<=cnt;i++)        cout<<"*"<<p[i]<<"^"<<num[i];        cout<<endl;    }    return 0;}

2.素数测试
判定一个数字p是不是质数：拿1 ~p 的所有数字来试除。

Eratosthenes筛法
算法描述：
1.列出所有正整数。
2.从2开始，删掉 2 的倍数。找下一个未被删掉的数字。
3.找到 3 ，删掉 3 的倍数。找下一个未被删掉的数字
4.找到 5 ，删掉 5 的倍数。
…
重复步骤，就能删掉所有合数，找到所有质数。

bool prime[20000000];void eratosthenes(){    memset(prime,1,sizeof(prime));    prime[0] = 0;  prime[1] = 0;  // 0 和 1 不是质数    for (int i=2; i<20000000; i++)        if (prime[i]==1) // 删掉质数i的倍数            for (int j=i+i; j<20000000; j+=i)                prime[j] = 0;

注意：删掉质数 i 的倍数时，早已删掉1 倍~ i-1 倍之间的合数了，所以直接从i倍开始删除。

//代码可优化如下：void eratosthenes(){    memset(prime,1,sizeof(prime));    prime[0] = 0;prime[1] = 0;    for (int i=2; i<20000000; i++)        if (prime[i]==1)      //删掉i的倍数从i倍开始。            for (int j=i*i; j<20000000; j+=i)                prime[j] = 0;

3.欧拉公式

（互质：公约数只有1的两个整数）
4.性质：
a)当p为质数时, φ(p) = p – 1。
证明：因为小于本身的数都与该数互质，但是注意φ(1)=1.

b)对于互质的正整数a和n,有（a^φ(n)）(mod n) ≡ 1

c)费马小定理：若正整数a 与素数p 互质，则有（a^(p - 1)）mod p≡1 。
证明:由于性质a可知当p为质数，φ(p) = p -1，代入性质b即可证明。
d)当n为奇数时φ(2n)=φ(n).
e)当n和m互质时,φ(n*m)=φ(n)*φ(m).
f)若n=p^k(p为质数),φ(n)=p^k-p^(k-1).
证明：因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质。

朴素算法实现：

1.根据公式1：n=p1^k1*p2^k2*…pr^kr和公式2：φ(n)=n (1-1/p1) … (1-1/pr)。
2.可将公式2可拆成n* (1-1/p1)=n-n/p1计算。

int euler(int n){    int i,ans=n;    for(i=2; i*i<=n; i++)        if(n%i==0)        {            ans=ans-ans/i;            while(n%i==0)                n/=i;//把该素因子全部约掉        }    if(n>1)        ans=ans-ans/n;    return ans;}

例题1：poj2478 Farey

#include<iostream>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cmath>using namespace std;int phi[1000005];void solve(){    memset(phi,0,sizeof(phi));    for (int i=2;i<=1000000;i++)//筛选求phi    {        if (!phi[i])//当phi[i]未访问        {            for (int j=i;j<=1000000;j+=i)            {                if (phi[j]==0)//当phi[j]未访问                    phi[j]=j-j/i;//算出phi[j]的个数(欧拉公式)。            }        }    }}int main(){    int n;    solve();    while (cin>>n)    {        if(n==0) break;        long long sum = 0 ;        for (int i=2;i<=n;i++)            sum+=phi[i];        cout<<sum<<endl;    }    return 0;}

例题2：poj3090 Visible Lattice Points
escription
一个从(0,0)到(n,n)的坐标阵，如果(0,0)到(i,j)的连线被点挡住就算看不到,问多少点能被点(0,0)看到。
Input
输入T，代表接下来有T组数据，每组输入一个N，代表N*N的坐标阵。
Output
输出格式为：第几组 输入的数字N 可见点数个数
Sample Input Sample Output
4
2 1 2 5
4 2 4 13
5 3 5 21
231 4 231 32549

分析：
由图可知：左上和右下两部分具有对称性，我们考虑右下部分，对于点(x,y)：
1.有x>=y
2.若x和y不是互质的数(比如(4,2))，设t=gcd(x,y),必存在比它小的(x/t,y/t)与之重叠 (如(2,1))，那么(4,2)就为不可见点。

所以我们求的就是phi(y)(0

#include<iostream>#include<cstdio>#include<string.h>#include<algorithm>using namespace std;int phi[1010];int n,sum;void fasteular(){    memset(phi,0,sizeof(phi));    for(int i=2;i<=1010;i++)    {        if(!phi[i])        {            for(int j=i;j<=1010;j+=i)            {                if(!phi[j])                    phi[j]=j;                phi[j]=phi[j]-phi[j]/i;            }        }    }}int main(){    fasteular();    int c,flag=1;    cin>>c;    while(c--)    {        cin>>n;        sum=3;        for(int i=2;i<=n;i++)        {            sum+=2*phi[i];        }        cout<<flag++<<' '<<n<<' '<<sum<<endl;    }    return 0;}