奇异值分解

一个非方矩阵不能定义特征值，特征值的推广之一是奇异值。

矩阵A∈Cm×n 秩为 r , 则 AHA和AAH 均为秩为 r 的半正定 Hermite 矩阵，并且他们具有相同的正特征值。 记为 λ1≥λ2≥⋯≥λr≥λr+1=⋯=λn ,则称 σi=λi−−√ 为矩阵 A 的奇异值或奇值，前 r 个是正奇值。

矩阵的奇异值分解可以表示为：

A=UΣVT

其中 U 为＄m＄阶正交矩阵，

U=[u1,u2,…,um

V 为＄m＄阶正交矩阵，

V=[v1,v2,…,vn

Σ 为 m×n 阶矩阵

Σ=[D000],D=diag{σ1,σ2,…,σr}

矩阵的广义逆可以表示为：

A†=VΣ†UT

其中：

Σ†=[D†000],D†=diag{1σ1,1σ2,…,1σr}