【算法概论】7.线性规划与规约

7 线性规划与规约

7.1 线性规划简介

• 线性规划问题的变量满足：
  
  1. 一组关于这些变量的线性方程/不等式
  2. 使给定的目标线性函数最大/最小

7.1.1 示例：利润最大化

• 两种产品利润最大化

  

​ 求解线性规划：”约束条件“构成一凸多边形，”单纯形法“从边上某一点出发，沿着边爬升到另一顶点，直到利润不再增加。

​

• 更多产品

  

​ 求解线性规划：”约束条件“构成一凸多面体，”单纯形法“从边上某一点出发，沿着边爬升到另一顶点，直到利润不再增加。

7.1.2 示例：生产计划

• 整数线性规划

7.1.3 示例：最优带宽分配

• 规约：解决某个任务Q的算法可用于解决任务P，则P可归约到Q (P reduces to Q)

7.1.4 线性规划的变体

• 线性规划问题的转化

  1. 目标函数两边同时乘以-1，最大问题 转变成 最小问题

  2. 引入新的参数s，将条件中的不等式 ∑ni=1aixi≤b 转变成等式 ∑ni=1aisi+s=b,s≥0

     s为不等式的 松弛变量，向量 (x1,x2,...,xn) 满足最初的不等式约束，当且仅当存在某个s≥0使新的等式成立

  3. 将等式约束变成不等式约束：将ax=b写成ax≤b、ax≥b

  4. 对于不确定符号的变量x：

     • 引入两个非负的变量，x+，x−≥0
     • 用x+−x−代替x

• 将任意LP问题归约到LP标准型：

  • 目标函数最小化
  • 等式约束条件
  • 所有变量非负

• LP问题的矩阵表示

min cTxAx+s=bs≥0x≥0

7.2 网络流

7.2.1 石油运输

7.2.2 最大流

7.2.3 对算法的深入理解

• 单纯形法的求解过程：
  
  • 由最小的流（流量为0）开始
  • 重复如下动作：
  • 选择由s到t的一条可能路径，然后尽可能地提高该路径上的流量

7.2.4 最优性保证

• 最小分割最大流定理：网络中最大流的规模等于其中(s,t)分割的最小容量

7.2.5 算法的效率

• 每次迭代使用深度优先搜索或广度优先搜索寻找s到t的路径，因此每次迭代的复杂度为O(E)。每条边的最大容量为C，则路径的最大流量为C|E|，迭代最多次数为C|E|。

  若每次广度优先搜索的结果为边最少的路径，则最少的迭代次数为O(|V||E|)，算法复杂度为O(|V||E|2)。

7.3 二部图的匹配

• 完美匹配：

归约为最大流问题，每条边的容量为1:

• 性质：如果所有边的容量为整数，则最大流的规模也是整数

7.4 对偶

• 如果一个线性规划的最优目标函数值有界，则其对偶的最优目标函数值也有界，并且两者相等。
• 当原LP问题为最大流问题时，其对偶问题为最小分割问题。

7.5 零和博弈

• 最小最大定理：

maxxminy∑i,jGi,jxiyj=minymaxx∑i,jGi,jxiyj

7.6 单纯形算法

7.6.1 n维空间中的顶点和邻居

• 顶点：由n的不等式定义的点
• 邻居：两个顶点对应的所有不等式中，由n-1个相同

7.6.2 算法

• 在每次迭代中，单纯形法需要完成如下任务：

  1. 检查当前顶点是否最优；如果是，则退出。

  2. 决定向哪里移动。

  3. 初始LP

  

  • The origin is optimal if and only if all ci ≤ 0 .

    1. 令yi=bi−ai∗x

  

7.6.3 补遗

1. 起始顶点：

   

2. 退化

3. 无界性

7.6.4 单纯形法的运行时间