神经网络中的反向传播法——Back Propagation

反向传播法其实是神经网络的基础了，但是很多人在学的时候总是会遇到一些问题，或者看到大篇的公式觉得好像很难就退缩了，其实不难，就是一个链式求导法则反复用。如果不想看公式，可以直接把数值带进去，实际的计算一下，体会一下这个过程之后再来推导公式，这样就会觉得很容易了。

　　说到神经网络，大家看到这个图应该不陌生：

这是典型的三层神经网络的基本构成，Layer L1是输入层，Layer L2是隐含层，Layer L3是隐含层，我们现在手里有一堆数据{x1,x2,x3,…,xn},输出也是一堆数据{y1,y2,y3,…,yn},现在要他们在隐含层做某种变换，让你把数据灌进去后得到你期望的输出。如果你希望你的输出和原始输入一样，那么就是最常见的自编码模型（Auto-Encoder）。可能有人会问，为什么要输入输出都一样呢？有什么用啊？其实应用挺广的，在图像识别，文本分类等等都会用到，我会专门再写一篇Auto-Encoder的文章来说明，包括一些变种之类的。如果你的输出和原始输入不一样，那么就是很常见的人工神经网络了，相当于让原始数据通过一个映射来得到我们想要的输出数据，也就是我们今天要讲的话题。

　 本文直接举一个例子，带入数值演示反向传播法的过程，公式的推导等到下次写Auto-Encoder的时候再写，其实也很简单，感兴趣的同学可以自己推导下试试：）（注：本文假设你已经懂得基本的神经网络构成，如果完全不懂，可以参考Poll写的笔记：[Mechine Learning & Algorithm] 神经网络基础）
　 假设，你有这样一个网络层：

第一层是输入层，包含两个神经元i1，i2，和截距项b1；第二层是隐含层，包含两个神经元h1,h2和截距项b2，第三层是输出o1,o2，每条线上标的wi是层与层之间连接的权重，激活函数我们默认为sigmoid函数。

　　现在对他们赋上初值，如下图：

　其中，输入数据 i1=0.05，i2=0.10;

　　　　　输出数据 o1=0.01,o2=0.99;

　　　　　初始权重 w1=0.15,w2=0.20,w3=0.25,w4=0.30;

　　　　　　　　　 w5=0.40,w6=0.45,w7=0.50,w8=0.88

　　目标：给出输入数据i1,i2(0.05和0.10)，使输出尽可能与原始输出o1,o2(0.01和0.99)接近。

　　Step 1 前向传播

　　1.输入层—->隐含层：

　　计算神经元h1的输入加权和：
　　
　　神经元h1的输出o1:(此处用到激活函数为sigmoid函数)：
　　
　　同理，可计算出神经元h2的输出o2：
　　
　　　　2.隐含层—->输出层：

　　计算输出层神经元o1和o2的值：
　　
　　这样前向传播的过程就结束了，我们得到输出值为[0.75136079 , 0.772928465]，与实际值[0.01 , 0.99]相差还很远，现在我们对误差进行反向传播，更新权值，重新计算输出。

Step 2 反向传播

1.计算总误差

总误差：(square error)

但是有两个输出，所以分别计算o1和o2的误差，总误差为两者之和：



2.隐含层—->输出层的权值更新：

以权重参数w5为例，如果我们想知道w5对整体误差产生了多少影响，可以用整体误差对w5求偏导求出：（链式法则）

下面的图可以更直观的看清楚误差是怎样反向传播的：

现在我们来分别计算每个式子的值：

计算：

计算：

（这一步实际上就是对sigmoid函数求导，比较简单，可以自己推导一下）
计算：

最后三者相乘：

这样我们就计算出整体误差E(total)对w5的偏导值。

回过头来再看看上面的公式，我们发现：

为了表达方便，用来表示输出层的误差：

因此，整体误差E(total)对w5的偏导公式可以写成：

如果输出层误差计为负的话，也可以写成：

最后我们来更新w5的值：

（其中，是学习速率，这里我们取0.5）
同理，可更新w6,w7,w8:

3.隐含层—->隐含层的权值更新：

　方法其实与上面说的差不多，但是有个地方需要变一下，在上文计算总误差对w5的偏导时，是从out(o1)—->net(o1)—->w5,但是在隐含层之间的权值更新时，是out(h1)—->net(h1)—->w1,而out(h1)会接受E(o1)和E(o2)两个地方传来的误差，所以这个地方两个都要计算。

计算：

先计算：




同理，计算出：

两者相加得到总值：

再计算：

再计算：

最后，三者相乘：

为了简化公式，用sigma(h1)表示隐含层单元h1的误差：

最后，更新w1的权值：

同理，额可更新w2,w3,w4的权值：

这样误差反向传播法就完成了，最后我们再把更新的权值重新计算，不停地迭代，在这个例子中第一次迭代之后，总误差E(total)由0.298371109下降至0.291027924。迭代10000次后，总误差为0.000035085，输出为0.015912196,0.984065734,证明效果还是不错的。

#coding:utf-8import randomimport math##   参数解释：#   "pd_" ：偏导的前缀#   "d_" ：导数的前缀#   "w_ho" ：隐含层到输出层的权重系数索引#   "w_ih" ：输入层到隐含层的权重系数的索引class NeuralNetwork:    LEARNING_RATE = 0.5    def __init__(self, num_inputs, num_hidden, num_outputs, hidden_layer_weights = None, hidden_layer_bias = None, output_layer_weights = None, output_layer_bias = None):        self.num_inputs = num_inputs        self.hidden_layer = NeuronLayer(num_hidden, hidden_layer_bias)        self.output_layer = NeuronLayer(num_outputs, output_layer_bias)        self.init_weights_from_inputs_to_hidden_layer_neurons(hidden_layer_weights)        self.init_weights_from_hidden_layer_neurons_to_output_layer_neurons(output_layer_weights)    def init_weights_from_inputs_to_hidden_layer_neurons(self, hidden_layer_weights):        weight_num = 0        for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):            for i in range(self.num_inputs):                if not hidden_layer_weights:                    self.hidden_layer.neurons[h].weights.append(random.random())                else:                    self.hidden_layer.neurons[h].weights.append(hidden_layer_weights[weight_num])                weight_num += 1    def init_weights_from_hidden_layer_neurons_to_output_layer_neurons(self, output_layer_weights):        weight_num = 0        for o in range(len(self.output_layer.neurons)):            for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):                if not output_layer_weights:                    self.output_layer.neurons[o].weights.append(random.random())                else:                    self.output_layer.neurons[o].weights.append(output_layer_weights[weight_num])                weight_num += 1    def inspect(self):        print('------')        print('* Inputs: {}'.format(self.num_inputs))        print('------')        print('Hidden Layer')        self.hidden_layer.inspect()        print('------')        print('* Output Layer')        self.output_layer.inspect()        print('------')    def feed_forward(self, inputs):        hidden_layer_outputs = self.hidden_layer.feed_forward(inputs)        return self.output_layer.feed_forward(hidden_layer_outputs)    def train(self, training_inputs, training_outputs):        self.feed_forward(training_inputs)        # 1. 输出神经元的值        pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input = [0] * len(self.output_layer.neurons)        for o in range(len(self.output_layer.neurons)):            # ∂E/∂zⱼ            pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] = self.output_layer.neurons[o].calculate_pd_error_wrt_total_net_input(training_outputs[o])        # 2. 隐含层神经元的值        pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input = [0] * len(self.hidden_layer.neurons)        for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):            # dE/dyⱼ = Σ ∂E/∂zⱼ * ∂z/∂yⱼ = Σ ∂E/∂zⱼ * wᵢⱼ            d_error_wrt_hidden_neuron_output = 0            for o in range(len(self.output_layer.neurons)):                d_error_wrt_hidden_neuron_output += pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] * self.output_layer.neurons[o].weights[h]            # ∂E/∂zⱼ = dE/dyⱼ * ∂zⱼ/∂            pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input[h] = d_error_wrt_hidden_neuron_output * self.hidden_layer.neurons[h].calculate_pd_total_net_input_wrt_input()        # 3. 更新输出层权重系数        for o in range(len(self.output_layer.neurons)):            for w_ho in range(len(self.output_layer.neurons[o].weights)):                # ∂Eⱼ/∂wᵢⱼ = ∂E/∂zⱼ * ∂zⱼ/∂wᵢⱼ                pd_error_wrt_weight = pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] * self.output_layer.neurons[o].calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(w_ho)                # Δw = α * ∂Eⱼ/∂wᵢ                self.output_layer.neurons[o].weights[w_ho] -= self.LEARNING_RATE * pd_error_wrt_weight        # 4. 更新隐含层的权重系数        for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):            for w_ih in range(len(self.hidden_layer.neurons[h].weights)):                # ∂Eⱼ/∂wᵢ = ∂E/∂zⱼ * ∂zⱼ/∂wᵢ                pd_error_wrt_weight = pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input[h] * self.hidden_layer.neurons[h].calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(w_ih)                # Δw = α * ∂Eⱼ/∂wᵢ                self.hidden_layer.neurons[h].weights[w_ih] -= self.LEARNING_RATE * pd_error_wrt_weight    def calculate_total_error(self, training_sets):        total_error = 0        for t in range(len(training_sets)):            training_inputs, training_outputs = training_sets[t]            self.feed_forward(training_inputs)            for o in range(len(training_outputs)):                total_error += self.output_layer.neurons[o].calculate_error(training_outputs[o])        return total_errorclass NeuronLayer:    def __init__(self, num_neurons, bias):        # 同一层的神经元共享一个截距项b        self.bias = bias if bias else random.random()        self.neurons = []        for i in range(num_neurons):            self.neurons.append(Neuron(self.bias))    def inspect(self):        print('Neurons:', len(self.neurons))        for n in range(len(self.neurons)):            print(' Neuron', n)            for w in range(len(self.neurons[n].weights)):                print('  Weight:', self.neurons[n].weights[w])            print('  Bias:', self.bias)    def feed_forward(self, inputs):        outputs = []        for neuron in self.neurons:            outputs.append(neuron.calculate_output(inputs))        return outputs    def get_outputs(self):        outputs = []        for neuron in self.neurons:            outputs.append(neuron.output)        return outputsclass Neuron:    def __init__(self, bias):        self.bias = bias        self.weights = []    def calculate_output(self, inputs):        self.inputs = inputs        self.output = self.squash(self.calculate_total_net_input())        return self.output    def calculate_total_net_input(self):        total = 0        for i in range(len(self.inputs)):            total += self.inputs[i] * self.weights[i]        return total + self.bias    # 激活函数sigmoid    def squash(self, total_net_input):        return 1 / (1 + math.exp(-total_net_input))    def calculate_pd_error_wrt_total_net_input(self, target_output):        return self.calculate_pd_error_wrt_output(target_output) * self.calculate_pd_total_net_input_wrt_input();    # 每一个神经元的误差是由平方差公式计算的    def calculate_error(self, target_output):        return 0.5 * (target_output - self.output) ** 2    def calculate_pd_error_wrt_output(self, target_output):        return -(target_output - self.output)    def calculate_pd_total_net_input_wrt_input(self):        return self.output * (1 - self.output)    def calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(self, index):        return self.inputs[index]# 文中的例子:nn = NeuralNetwork(2, 2, 2, hidden_layer_weights=[0.15, 0.2, 0.25, 0.3], hidden_layer_bias=0.35, output_layer_weights=[0.4, 0.45, 0.5, 0.55], output_layer_bias=0.6)for i in range(10000):    nn.train([0.05, 0.1], [0.01, 0.09])    print(i, round(nn.calculate_total_error([[[0.05, 0.1], [0.01, 0.09]]]), 9))#另外一个例子，可以把上面的例子注释掉再运行一下:# training_sets = [#     [[0, 0], [0]],#     [[0, 1], [1]],#     [[1, 0], [1]],#     [[1, 1], [0]]# ]# nn = NeuralNetwork(len(training_sets[0][0]), 5, len(training_sets[0][1]))# for i in range(10000):#     training_inputs, training_outputs = random.choice(training_sets)#     nn.train(training_inputs, training_outputs)#     print(i, nn.calculate_total_error(training_sets))

稳重使用的是sigmoid激活函数，实际还有几种不同的激活函数可以选择，具体的可以参考文献[3]，最后推荐一个在线演示神经网络变化的网址：
在线演示神经网络变化，可以自己填输入输出，然后观看每一次迭代权值的变化
参考文献：

1.Poll的笔记：[Mechine Learning & Algorithm] 神经网络基础（http://www.cnblogs.com/maybe2030/p/5597716.html#3457159 ）

2.Rachel_Zhang:http://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/7758797

3.http://www.cedar.buffalo.edu/%7Esrihari/CSE574/Chap5/Chap5.3-BackProp.pdf

4.https://mattmazur.com/2015/03/17/a-step-by-step-backpropagation-example/