AVL树，伸展树，B树的一些概念

１，AVL树是带有平衡条件的二叉查找树，我们知道二叉查找树的定义是对于树中任意的节点X,它的左子树的所有项的值都小于X的值，它的右子树的所有项的值都大于X的值。

带有平衡条件的二叉查找树，是为了解决一个问题，什么问题呢？

　　问题是：当向一棵树输入预先排序好的数据时，二叉查找树所有节点都没有左儿子，这是对这棵树的操作的代价就会很大。

　　AVL树的平衡条件是：每个节点的左子树和右子树的高度最多差１。（空树的高度定义为-1）

　　在建造AVL树的时候，每插入一个节点判断树是否平衡，当树不满足平衡条件时，进行简单的修正。

　　两种修正方法：单旋转，双旋转。

　　１，单旋转：

　　　　对a的左儿子的左子树进行一次插入；对a的右儿子的右子树进行一次插入；使a的两颗子树的高度差为２；此时使用单旋转

　　２，双旋转：

　　　　对a的左儿子的右子树进行一次插入；对a的右儿子的左子树进行一次插入；使a的两颗子树的高度差为２；此时使用双旋转

　　AVL树删除节点：

　　　　a.当被删除节点n是叶子节点，直接删除。

　　　b.当被删除节点n只有一个孩子，删除n，用孩子替代该节点的位置。

　　　c.当被删除结点n存在左右孩子时，真正的删除点应该是n的中序遍历的前驱，或者说是左子树最大的节点，之后n的值替换为真正删除点的值。这就把c归结为a，b的问题。
　　删除之后还要考虑是否平衡，

２，伸展树保证从空树开始连续M次对树的操作最多话花费O(MlogN)时间，

解决的问题：因为要求O(logN)的摊还时间界，只要一个节点被访问，它就必须被移动，否则，一旦发现一个深层的节点，我们就有可能不断对它进行访问，如果这个节点部不移动，而每次右花费O(N),那么M次访问将花费O(M*N)的时间。

伸展树的基本思想：当一个节点被访问后，它就要经过一系列AVL树的旋转被推到根上。

方法１：执行单旋转

　　　　事实证明，对一个节点的访问会将另一个节点向深处推进，并没有改善访问路径上其他节点的状况。使用这个策略将会存在一系列M个操作共需要O(M*N)的时间，因此方法不够好。

方法２：展开

　　　　思路与上面的旋转相似，但在旋转如何实施上我们稍微有些选择的余地。我们仍然从底部向上沿着访问路径旋转。

情形：

　　　１，之字形　　使用AVL双旋转

　　　２，一字形　　使用一字形旋转

对一个节点访问之后，它总是处于其中一种情形，使用对应的方法展开，直到将节点推到根上。

３ ，B树（B-tree）本质上是一种针对外存储器设备设计的多路平衡查找树，该数据结构及其扩展结构（B+树,B*树等）被广泛应用于文件系统，数据库索引等。

　　平衡二叉查找树在：AVL树，伸展树，红黑树等等下一章讲红黑树。