数论倒数
来源:互联网 发布:生意通软件手机版 编辑:程序博客网 时间:2024/05/12 07:15
ACM数论之旅6---数论倒数,又称逆元(我整个人都倒了( ̄﹏ ̄))
数论倒数,又称逆元(因为我说习惯逆元了,下面我都说逆元)
数论中的倒数是有特别的意义滴
你以为a的倒数在数论中还是1/a吗
(・∀・)哼哼~天真
先来引入求余概念
(a + b) % p = (a%p + b%p) %p (对)
(a - b) % p = (a%p - b%p) %p (对)
(a * b) % p = (a%p * b%p) %p (对)
(a / b) % p = (a%p / b%p) %p (错)
为什么除法错的
证明是对的难,证明错的只要举一个反例
(100/50)%20 = 2 ≠ (100%20) / (50%20) %20 = 0
对于一些题目,我们必须在中间过程中进行求余,否则数字太大,电脑存不下,那如果这个算式中出现除法,我们是不是对这个算式就无法计算了呢?
答案当然是 NO (>o<)
这时就需要逆元了
我们知道
如果
a*x = 1
那么x是a的倒数,x = 1/a
但是a如果不是1,那么x就是小数
那数论中,大部分情况都有求余,所以现在问题变了
a*x = 1 (mod p)
那么x一定等于1/a吗
不一定
所以这时候,我们就把x看成a的倒数,只不过加了一个求余条件,所以x叫做 a关于p的逆元
比如2 * 3 % 5 = 1,那么3就是2关于5的逆元,或者说2和3关于5互为逆元
这里3的效果是不是跟1/2的效果一样,所以才叫数论倒数
a的逆元,我们用inv(a)来表示
那么(a / b) % p = (a * inv(a) ) % p = (a % p * inv(a) % p) % p
这样就把除法,完全转换为乘法了 (。・ω・),乘法超容易
正篇开始
逆元怎么求
(忘了说,a和p互质,a才有关于p的逆元)
方法一:
费马曾经说过:不想当数学家的数学家不是好数学家(( ̄▽ ̄)~*我随便说的,别当真)
费马小定理
a^(p-1) ≡1 (mod p)
两边同除以a
a^(p-2) ≡1/a (mod p)
什么(,,• ₃ •,,),这可是数论,还敢写1/a
应该写a^(p-2) ≡ inv(a) (mod p)
所以inv(a) = a^(p-2) (mod p)
这个用快速幂求一下,复杂度O(logn)(ง •̀_•́)ง
1 LL pow_mod(LL a, LL b, LL p){//a的b次方求余p 2 LL ret = 1; 3 while(b){ 4 if(b & 1) ret = (ret * a) % p; 5 a = (a * a) % p; 6 b >>= 1; 7 } 8 return ret; 9 }10 LL Fermat(LL a, LL p){//费马求a关于b的逆元 11 return pow_mod(a, p-2, p);12 }
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