原码、反码、补码

    数值在计算机中表示形式为机器数，计算机只能识别0和1，使用的是二进制。而在日常生活中人们使用的是十进制，“正如亚里士多德早就指出的那样，今天十进制的广泛采用，只不过我们绝大多数人生来具有10个手指头这个解剖学事实的结果。尽管在历史上手指计数（5，10进制）的实践要比二或三进制计数出现的晚。”（摘自《数学发展史》）。为了能方便的与二进制转换，就使用了十六进制（24）和八进制（23）。下面进入正题。

    数值有正负之分,计算机就用一个数的最高位存放符号(0为正,1为负).这就是机器数的原码了.假设机器能处理的位数为8.即字长为1byte,原码能表示数值的范围为

    (-127~-0 +0~127)共256个.

    有了数值的表示方法就可以对数进行算术运算.但是很快就发现用带符号位的原码进行乘除运算时结果正确,而在加减运算的时候就出现了问题,如下: 假设字长为8bits

    ( 1 ) 10-  ( 1 )10 =  ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10

    (00000001)原 + (10000001)原 = (10000010)原 = ( -2 ) 显然不正确.

    因为在两个整数的加法运算中是没有问题的,于是就发现问题出现在带符号位的负数身上,对除符号位外的其余各位逐位取反就产生了反码.反码的取值空间和原码相同且一一对应. 下面是反码的减法运算:

     ( 1 )10 -  ( 1 ) 10=  ( 1 ) 10+ ( -1 ) 10= ( 0 )10

     (00000001) 反+ (11111110)反 =  (11111111)反 =  ( -0 )  有问题.

    ( 1 )10 -  ( 2)10 =  ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10

    (00000001) 反+ (11111101)反 =  (11111110)反 =  ( -1 ) 正确

    问题出现在(+0)和(-0)上,在人们的计算概念中零是没有正负之分的.(印度人首先将零作为标记并放入运算之中,包含有零号的印度数学和十进制计数对人类文明的贡献极大).

    于是就引入了补码概念. 负数的补码就是对反码加一,而正数不变,正数的原码反码补码是一样的.在补码中用(-128)代替了(-0),所以补码的表示范围为:

    (-128~0~127)共256个.

    注意:(-128)没有相对应的原码和反码, (-128) = (10000000)  补码的加减运算如下:

    ( 1 ) 10-  ( 1 ) 10=  ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10

    (00000001)补 + (11111111)补 =  (00000000)补 = ( 0 ) 正确

    ( 1 ) 10-  ( 2) 10=  ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10

    (00000001) 补+ (11111110) 补=  (11111111)补 = ( -1 )  正确

    所以补码的设计目的是:

    ⑴使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则.

    ⑵使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计

    所有这些转换都是在计算机的最底层进行的，而在我们使用的汇编、C等其他高级语言中使用的都是原码。看了上面这些大家应该对原码、反码、补码有了新的认识了吧！

    有网友对此做了进一步的总结：

    本人大致总结一下：

    1、在计算机系统中，数值一律用补码来表示（存储）。

    主要原因：使用补码，可以将符号位和其它位统一处理；同时，减法也可按加法来处理。另外，两个用补码表示的数相加时，如果最高位（符号位）有进位，则进位被舍弃。

    2、补码与原码的转换过程几乎是相同的。

    数值的补码表示也分两种情况：
    （1）正数的补码：与原码相同。
    例如，+9的补码是00001001。
    （2）负数的补码：符号位为1，其余位为该数绝对值的原码按位取反；然后整个数加1。
    例如，-7的补码：因为是负数，则符号位为“1”,整个为10000111；其余7位为-7的绝对值+7的原码0000111按位取反为1111000；再加1，所以-7的补码是11111001。

    已知一个数的补码，求原码的操作分两种情况：
    （1）如果补码的符号位为“0”，表示是一个正数，所以补码就是该数的原码。
    （2）如果补码的符号位为“1”，表示是一个负数，求原码的操作可以是：符号位为1，其余各位取反，然后再整个数加1。
    例如，已知一个补码为11111001，则原码是10000111（-7）：因为符号位为“1”，表示是一个负数，所以该位不变，仍为“1”；其余7位1111001取反后为0000110；再加1，所以是10000111。

    在“闲扯原码、反码、补码”文件中，没有提到一个很重要的概念“模”。我在这里稍微介绍一下“模”的概念：

    “模”是指一个计量系统的计数范围。如时钟等。计算机也可以看成一个计量机器，它也有一个计量范围，即都存在一个“模”。例如：

    时钟的计量范围是0～11，模=12。
    表示n位的计算机计量范围是0～2(n)-1，模=2（n）。【注：n表示指数】

    “模”实质上是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的余数。任何有模的计量器，均可化减法为加法运算。

    例如： 假设当前时针指向10点，而准确时间是6点，调整时间可有以下两种拨法：

    一种是倒拨4小时，即：10-4=6

    另一种是顺拨8小时：10+8=12+6=6

    在以12模的系统中，加8和减4效果是一样的，因此凡是减4运算，都可以用加8来代替。

    对“模”而言，8和4互为补数。实际上以12模的系统中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有这个特性。共同的特点是两者相加等于模。

    对于计算机，其概念和方法完全一样。n位计算机，设n=8， 所能表示的最大数是11111111，若再加1称为100000000(9位)，但因只有8位，最高位1自然丢失。又回了00000000，所以8位二进制系统的模为2(8)。 在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题，只需把减数用相应的补数表示就可以了。

    把补数用到计算机对数的处理上，就是补码。