轻松理解CRC差错检测算法(A PAINLESS GUIDE TO CRC ERROR DETECTION ALGORITHMS)三

5 无进位2进制运算（作者版权声明见本系列第1篇）
    已经展开讨论了多项式，我们现在聚焦于真正的运算问题上，这是CRC运算中进行的全部运算，即2进制无进位运算。通常，这也被称作是多项式运算，但正如我已经宣称的，此文后面的部分中都不会有“多项式的”这样的名称，相反我们必须叫它CRC运算。因为，这个运算是CRC计算中的关键所在，我们最好去适应它。现在开始：
    除了没有进位外，CRC中2个数相加与通常的2进制相加没有区别。这就是说，和的某位的值由参与运算的两个数的对应位的值来决定 ，结果不受其他位影响。例如：
            10011011
         [phone]
          ----------------
            01010001
    每个位值计算只会有4种情形：
        0+0=0
        0+1=1
        1+0=1
        1+1=0    (无进位）
减法也是一样：
        10011011
       -11001010
        --------------
        01010001
同样：
        0-0=0
        0-1=1
        1-0=1
        1-1=0

    事实上，CRC中的加法和减法都和XOR操作是一致的，XOR是异或。这很大程度上把第一个幂级（加法、减法）的操作减少到一次操作，异或。这是这个运算非常方便的一个地方。
    把加法和减法搞乱以后，运算除去最高位，没有别的比较大小的途径。1010明显看来是比10大，但它可不比1001大。为了弄明白这点，注意，你可以通过1010和1001相加相减都到相同的值。
        1010 = 1010 + 0011
        1010 = 1010 – 0011
    这令排序没有了意义。
    已经定义了加法，我们可以转向乘法和除法。乘法是直接进一步，把求和式中的第一个数，按照第2个数的逐位移动，

          1101
       x 1011
          ----
          1101
         1101.
        0000..
       1101...
       -------
       1111111
注：求和是使用CRC加法。
    除法却是有一点麻烦，因为我们需要知道，什么时候一个数能除动一个数。为了做到这点，我们给出之前定义的大小关系的弱定义：如果X的最高位是比Y的最高一们相等或者更大，那么就说X是与Y相等，或者更大。这里是一个完整的除法运算示例。
（引自[Tanenbaum81])

           

     这就是它了。在更进一步之前，玩味一下这个运算法则以便更加习惯它，绝对是有用的。我们已经玩味了加法和减法，注意到，它们是一样的。这里，然而，我们应该注意到，这样的法则，A+0=A，A-0=A。这是很明显的性质，稍后却会有用。

    在处理CRC的乘除法时，体会下乘法和除法的概念是相当有用的。如果一个数A是B的整数倍，在CRC运算中，就表示可以通过从0 XOR一些B的各种移位操作结果得到。如，如果A是0111010110 B是11,我们可以如下从B得到A
        0111010110
        = .......11.
        + ....11....
        + ...11.....
           .11....…
如果A是0111010111,不可能通过各种移位操作来得到A，（你知道为什么吗？答案稍后揭晓），这样就说A在CRC运算中不能被B整除。
    这样，我们看到CRC运算主要是通过在不同的偏移处，XOR特定的值。