算法——阶乘之和(数据溢出以及时间测试)
来源：互联网 发布：自动接听电话软件 编辑：程序博客网 时间：2024/06/18 10:08
阶乘之和
例题:
输入n,计算S = 1!+2!+3!+...+n!的未6位(不含前导0)。n<=10^6，n！表示前n个正整数之积。
样例输入:
10
样例输出：
37913
分析：
这个任务看似不难，实际却有陷阱。先看如下代码：
代码1（有缺陷）：
//abc
#include<stdio.h>#include<stdlib.h>int main(){unsigned long int n,S = 0;scanf("%ld",&n);for(int i=1;i<=n;i++){int long factorial = 1;for(int j=1;j <=i;j++)factorial *= j;S += factorial;}printf("%ld\n",S % 1000000);return 0;}#include<stdio.h>#include<time.h>int main(){const int MOD = 1000000;int n,S = 0;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){int factorial = 1;for(int j=1;j<=i;j++)factorial = (factorial * j % MOD);S = (S + factorial) % MOD;}printf("%d\n",S);printf("Time used = %.2f\n",(double)clock() / CLOCKS_PER_SEC);return 0; }首先是算法改进：对每部阶乘进行求余，随后的结果S再进行求余。先看测试结果:输入20,输出结果:820313; 输入40，输出结果:940313; 输入100，输出:940313；
输入160，输出结果：940313； 输入1600，输出结果：940313..........
可以发现从40开始，答案始终不变。这是因为当25！末尾有6个0，所以从第5项开始，后面的所有项都不会影响和的末6位数字。什么意思呢：1！-10！举例如下：
1~10的阶乘如下：1！=12！=23！=64！=245！=1206！=7207！=50408！=40320 9！=362880 10！=3628800所以有此可见。。。。所以只需要在程序的最前面加一条语句“if(n>25) n=25;”,效率和溢出将都不存在问题。
下面来看程序中其他的东西:这个程序的真正特别之处在于计时函数clock()的使用。该函数返回程序目前为止运行的时间。
这样，在程序结束之前调用此函数，便可获得整个程序的运行时间。这个时间除以常熟CLOCKS_PER_SEC之后得到的值以“秒”为单位。
（
C语言函数clock（） 功 能:返回处理器调用某个进程或函数所花费的时间。用 法:clock_tclock(void);说明：clock_t其实就是long，即长整形。该函数返回值是硬件滴答数，要换算成秒或者毫秒，需要除以CLK_TCK或者 CLK_TCKCLOCKS_PER_SEC。比如，在VC++6.0下，这两个量的值都是1000，这表示硬件滴答1000下是1秒，因此要计算一个进程的时间，用clock()除以1000即可。）
输入“20”，按Enter键后，系统瞬间给出了答案820313。但是，输出的Time used居然不是0！其原因在于，键盘输入的时间也被使计算在内——这的确
是程序启动之后才进行的。为了避免输入数据的时间影响测试结果，可以使用一种称为“管道”的小技巧；在windows命令行下执行echo 20|abc，操作系统
会自动把20输入，其中abc是程序名。
测试可知，程序的运行时间和n的平方成正比。（即程序的时间复杂度为O(n^2))）.
我们来测试一下这个程序(测试环境为Dev-c++)：
当输入10时，输出37913，结果正确。 但当输入100时，输出-961703。
我们知道int最大值为2^31-1,没错，在乘法累加的过程中，整形S的数据溢出。因为我们只求的是阶乘之和
的最后六位，没必要求出阶乘S的结果，所以可以从如下进行改进（过求出S的结果，难度更大）。想要解决这个问题，需要运用这个数学知识：
只要计算包含加法，减法和乘法的整数表达式除以正整数n的余数，可以在每部计算之后对n取余，结果不变。
下面请看改进过后的代码2，还会有新的东西：#include<stdio.h>#include<time.h>int main(){const int MOD = 1000000;int n,S = 0;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){int factorial = 1;for(int j=1;j<=i;j++)factorial = (factorial * j % MOD);S = (S + factorial) % MOD;}printf("%d\n",S);printf("Time used = %.2f\n",(double)clock() / CLOCKS_PER_SEC);return 0; }首先是算法改进：对每部阶乘进行求余，随后的结果S再进行求余。
先看测试结果:
输入20,输出结果:820313; 输入40，输出结果:940313; 输入100，输出:940313；
输入160，输出结果：940313； 输入1600，输出结果：940313..........
可以发现从40开始，答案始终不变。这是因为当25！末尾有6个0，所以从第5项开始，后面的所有项都不会影响和的末6位数字。
什么意思呢：1！-10！举例如下：
1~10的阶乘如下：
1！=1
2！=2
3！=6
4！=24
5！=120
6！=720
7！=5040
8！=40320
9！=362880
10！=3628800
所以有此可见。。。。所以只需要在程序的最前面加一条语句“if(n>25) n=25;”,效率和溢出将都不存在问题。
下面来看程序中其他的东西:这个程序的真正特别之处在于计时函数clock()的使用。该函数返回程序目前为止运行的时间。
这样，在程序结束之前调用此函数，便可获得整个程序的运行时间。这个时间除以常熟CLOCKS_PER_SEC之后得到的值以“秒”为单位。
（C语言函数clock（） 功 能:
返回处理器调用某个进程或函数所花费的时间。
用 法: clock_t clock(void);
说明：clock_t其实就是long，即长整形。该函数返回值是硬件滴答数，要换算成秒或者毫秒，需要除以CLK_TCK或者 CLK_TCK
CLOCKS_PER_SEC。比如，在VC++6.0下，这两个量的值都是1000，这表示硬件滴答1000下是1秒，因此要计算一个进程的时间，用clock()除以1000即可。）
输入“20”，按Enter键后，系统瞬间给出了答案820313。但是，输出的Time used居然不是0！其原因在于，键盘输入的时间也被使计算在内——这的确
是程序启动之后才进行的。为了避免输入数据的时间影响测试结果，可以使用一种称为“管道”的小技巧；在windows命令行下执行echo 20|abc，操作系统
会自动把20输入，其中abc是程序名。
测试可知，程序的运行时间和n的平方成正比。（即程序的时间复杂度为O(n^2))）.
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