Logistic回归

Sigmod函数和Logistic回归分类器

最优化理论

梯度下降最优化算法

数据中的缺失项处理

前言

生活中有许多最优化问题，如到达两地的最短时间、发动机油耗最小产生最率最大。本章将使用最优化算法训练一个非线性函数用于分类。这里所说的非线性函数（分类器），就是logistic回归分类器。

假设有一些数据点，用一条直线对这些数据点进行拟合（该线称为最佳拟合直线），这个拟合过程就称为回归。利用logistic回归来分类的主要思想为：根据现有数据对分类边界建立回归公式，通过该回归公式进行分类。

回归一词来源于最佳拟合，表示找到最佳拟合参数集。训练分类器时，采用最优化算法，寻找最佳拟合参数。

(1)收集数据：任意方法。

(2)准备数据：数值型数据，结构化数据格式。

(3)分析数据：任意方法。

(4)训练算法：找到最佳的分类回归参数。

(5)测试算法：使用测试数据，测试算法准确度。

(6)使用算法：输入数据，转化格式，使用训练好的回归参数进行回归计算，判定属于的类别。

基于logistic回归的和Sigmoid函数的分类

优点：计算代价不高。

缺点：容易欠拟合，分类精度可能不高。

Sigmod函数：

f(x)=11+e−x

当x值为0时，sigmod函数值为0.5.随着x值的增大，对应的sigmod值逼近1。随着x的减少，对应的sigmod值逼近0。

为了实现分类任务，在将每一个特征乘以一个回归系数，然后把所有值相加，将这个值作为sigmod函数的输入，从而得到一个范围在0~1之间的数值。如果大于0.5，属于分类1，反之属于分类0.

现在，我们要解决的任务就是：最佳回归系数？

基于最优化方法的最佳回归系数缺点

z=w0x0+w1x1+w2x2+...+wnxn

采用向量改写上述公式：

z=wTx

其中z为sigmod函数的输入，x是分类器的输入数据，w是最佳参数（系数）。为了寻找最佳参数，需要用到最优化。

梯度上升法

梯度上升法是一种最优化算法，其基本思想是：为了找到某个函数的最大值，沿着该函数的梯度方向寻找。函数f(x,y)的梯度由下式表示：

∇f(x,y)=[ϑf(x,y)ϑxϑf(x,y)ϑy]

这个梯度意味着，找找到函数最大的值，需要沿x的方向移动

ϑf(x,y)ϑx

沿y的方向移动

ϑf(x,y)ϑy

其中f(x,y)必须是可微。移动方向有了，需要移动多少？移动量的大小称为步长，记做

α

梯度算法的迭代公式如下：

w:=w+α∇f(w)

该过程迭代执行，直到满足某个停止条件。

梯度下降，只是把上式中的+改为-号，它寻找函数关于参数w的最小值：

w:=w−α∇f(w)

上面两式，梯度上升用来求函数的最大值，梯度下降用来求函数的最小值。对于梯度下降公式的理解：用来训练的数据是准备好的，不变的。但是非线性函数f的系数是可以改变的，通过改变系数w，求得函数f的最小值。

训练算法：使用梯度下降找到最佳参数

伪代码

初始化每个回归系数(1)重复R次：    计算整个数据集的梯度    使用alpha(步长)x梯度更新回归稀疏    返回回归系数

具体实现
logistic回归梯度下降算法

#加载数据def loadDataSet():    dataMat = []; labelMat = []    fr = open('testSet.txt')    for line in fr.readlines():        #分割文本  strip去掉前后空白 split分割        lineArr = line.strip().split()        #[x0 x1 x2]=[1 xxx xxx] 1为x0        dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])        #标签                labelMat.append(int(lineArr[2]))    return dataMat,labelMatdef sigmoid(inX):    #激活函数    return 1.0/(1+exp(-inX))#梯度下降法def gradAscent(dataMatIn, classLabels):    #转换为mat类型    dataMatrix = mat(dataMatIn)                 labelMat = mat(classLabels).transpose()     #m行，n列    m,n = shape(dataMatrix)    #步长    alpha = 0.001    #最大迭代次数    maxCycles = 500    #回归系数(列向量）    weights = ones((n,1))    for k in range(maxCycles):        #计算整个数据集乘以回归系数后，经过sigmod函数计算的值(列向量)        h = sigmoid(dataMatrix*weights)        #计算整个数据集预测分类的误差(列向量)        error = (h-labelMat)         #梯度下降w=w-步长*梯度（也就是找到h的最小值，最小值减去一个值，从而让error最小）        weights = weights -alpha * dataMatrix.transpose()* error         #梯度上升（也就是找到h的最大值，减去最大的值，从而让error最小）        #error=（labelMat-h）        #weights = weights +alpha * dataMatrix.transpose()* error    return weights

这里是计算真实类别和预测类别的差值，按照差值的方向调整回归系数。

画出决策边界

考虑sigmod(x)，当函数sigmod的输入即（w0x0+xw1+yw2）为0时，是两个类别的决策边界。下面代码画出分割线，便于理解。

def plotBestFit(wei):    import matplotlib.pyplot as plt    dataMat,labelMat=loadDataSet()    dataArr = array(dataMat)    #行数，样本数    n = shape(dataArr)[0]     xcord1 = []; ycord1 = []    xcord2 = []; ycord2 = []    for i in range(n):        #类别1        if int(labelMat[i])== 1:            xcord1.append(dataArr[i,1]); ycord1.append(dataArr[i,2])        #类别0        else:            xcord2.append(dataArr[i,1]); ycord2.append(dataArr[i,2])    #创建画布    fig = plt.figure()    ax = fig.add_subplot(111)    #两类数据点样式    ax.scatter(xcord1, ycord1, s=30, c='red', marker='s')    ax.scatter(xcord2, ycord2, s=30, c='green')    x = arange(-3.0, 3.0, 0.1)    #sigmod(x)中的 x等于0时是两类的分界线 x0w0+xw1+yw2=0    y = (-weights[0]-weights[1]*x)/weights[2]    #转置    y=y.transpose()    ax.plot(x, y)    plt.xlabel('X1'); plt.ylabel('X2');    plt.show()

训练方法：随机梯度下降

之前 的梯度下降方法，每次更新回归系数时需要遍历整个数据集，如果处理大量（千万、亿）条数据时，每个数据点包含上百个特征时，该方法的计算复杂度太高。一种改进方法：一次仅用一个样本点来更新回归系数，该方法称为随机梯度下降法。

采用这种方法可以在新的样本点到来时对分类器进行增量式更新，因此随机梯度下降法是一个在线学习算法。与在线学习相对应的，一次处理所有数据称为批处理

随机梯度下降算法伪码

初始化回归系数对数据集中每一个样本    计算该样本的梯度    alpha*gradient更新回归系数返回回归系数

随机梯度下降法

def stocGradAscent0(dataMatrix, classLabels):    dataMatrix=array(dataMatrix)    #行（样本数），列（特征数）    m,n = shape(dataMatrix)    #步长    alpha = 0.01    weights = ones(n)   #initialize to all ones    #每一个样本    for i in range(m):        h = sigmoid(sum(dataMatrix[i]*weights))        error =  h-classLabels[i]        #梯度下降（求最小h，使得error最小）        weights = weights - alpha * error * dataMatrix[i]    return weights

上述代码相当于在整个数据集上运行一次，我们可以改进该算法，使得在整个数据集上迭代150次，另外固定的步长可能导致回归系数收敛时来回波动（这个问题可以理解为，回归系数因为步长过大，在收敛值左右跳动），因此需要随着训练次数的增长，适当减少步长。

改进的随机梯度下降算法

#改进的梯度下降算法def stocGradAscent1(dataMatrix, classLabels, numIter=150):    dataMatrix=array(dataMatrix)    #行、列    m,n = shape(dataMatrix)    #初始化回归系数    weights = ones(n)   #initialize to all ones    #在整个数据集上迭代numIter次    for j in range(numIter):        dataIndex = range(m)        for i in range(m):            #调整alpha值            alpha = 4/(1.0+j+i)+0.0001            #随机选取样本点            randIndex = int(random.uniform(0,len(dataIndex)))            h = sigmoid(sum(dataMatrix[randIndex]*weights))            error =  h-classLabels[randIndex]            #梯度下降            weights = weights -alpha * error * dataMatrix[randIndex]            #删除该样本点索引            del(dataIndex[randIndex])    return weights

总结

Logistic回归的目标就是寻找非线性函数Sigmod的最佳拟合参数，这个求解过程可以用最优化算法完成。梯度下降（上升）法较为常用，随机梯度下降算法比梯度下降算法占用的资源更少，且是一个在线算法，可以在新数据到来时进行更新，而不需要读取整个数据集进行批处理运算。

testSet.txt(训练数据)

-0.017612   14.053064   0-1.395634   4.662541    1-0.752157   6.538620    0-1.322371   7.152853    00.423363    11.054677   00.406704    7.067335    10.667394    12.741452   0-2.460150   6.866805    10.569411    9.548755    0-0.026632   10.427743   00.850433    6.920334    11.347183    13.175500   01.176813    3.167020    1-1.781871   9.097953    0-0.566606   5.749003    10.931635    1.589505    1-0.024205   6.151823    1-0.036453   2.690988    1-0.196949   0.444165    11.014459    5.754399    11.985298    3.230619    1-1.693453   -0.557540   1-0.576525   11.778922   0-0.346811   -1.678730   1-2.124484   2.672471    11.217916    9.597015    0-0.733928   9.098687    0-3.642001   -1.618087   10.315985    3.523953    11.416614    9.619232    0-0.386323   3.989286    10.556921    8.294984    11.224863    11.587360   0-1.347803   -2.406051   11.196604    4.951851    10.275221    9.543647    00.470575    9.332488    0-1.889567   9.542662    0-1.527893   12.150579   0-1.185247   11.309318   0-0.445678   3.297303    11.042222    6.105155    1-0.618787   10.320986   01.152083    0.548467    10.828534    2.676045    1-1.237728   10.549033   0-0.683565   -2.166125   10.229456    5.921938    1-0.959885   11.555336   00.492911    10.993324   00.184992    8.721488    0-0.355715   10.325976   0-0.397822   8.058397    00.824839    13.730343   01.507278    5.027866    10.099671    6.835839    1-0.344008   10.717485   01.785928    7.718645    1-0.918801   11.560217   0-0.364009   4.747300    1-0.841722   4.119083    10.490426    1.960539    1-0.007194   9.075792    00.356107    12.447863   00.342578    12.281162   0-0.810823   -1.466018   12.530777    6.476801    11.296683    11.607559   00.475487    12.040035   0-0.783277   11.009725   00.074798    11.023650   0-1.337472   0.468339    1-0.102781   13.763651   0-0.147324   2.874846    10.518389    9.887035    01.015399    7.571882    0-1.658086   -0.027255   11.319944    2.171228    12.056216    5.019981    1-0.851633   4.375691    1-1.510047   6.061992    0-1.076637   -3.181888   11.821096    10.283990   03.010150    8.401766    1-1.099458   1.688274    1-0.834872   -1.733869   1-0.846637   3.849075    11.400102    12.628781   01.752842    5.468166    10.078557    0.059736    10.089392    -0.715300   11.825662    12.693808   00.197445    9.744638    00.126117    0.922311    1-0.679797   1.220530    10.677983    2.556666    10.761349    10.693862   0-2.168791   0.143632    11.388610    9.341997    00.317029    14.739025   0