前向差分(forward difference)

写在开头：做一个关于图像处理的项目，论文中提到了前向差分的概念，没有什么概念，就去搜了一点点关于差分的知识，记录一下。

差分

差分定义

设有k+1个点
(x0,y0),…,(xk,yk)
前向差分定义为:
[yν]:=yν,ν∈0,…,k
[yν,…,yν+j]:=[yν+1,…,yν+j]−[yν,…,yν+j−1]xν+j−xν,ν∈0,…,k−j,j∈1,…,k.

后向差分定义为:
[yν]:=yν,ν∈0,…,k
[yν,…,yν−j]:=[yν,…,yν−j+1]−[yν−1,…,yν−j]xν−xν−j,ν∈j,…,k,j∈1,…,k.

举个例子(其中[]是差分运算符)：
[y0]=y0
[y0,y1]=y1−y0x1−x0
[y0,y1,y2]=[y1,y2]−[y0,y1]x2−x0=y2−y1x2−x1−y1−y0x1−x0x2−x0=y2−y1(x2−x1)(x2−x0)−y1−y0(x1−x0)(x2−x0)
[y0,y1,y2,y3]=[y1,y2,y3]−[y0,y1,y2]x3−x0

差分满足的性质

差分对于离散点就相当于微分对于连续函数，
两个点的差分：[y0,y1]=y1−y0x1−x0当距离特别近的时候就是导数的定义

具体的在图像处理里面也还没有用到，所以就没有深究。需要的可以参考维基百科之divided difference;

Matlab实现使用差分进行图像处理

clear;clc;#读出原始图片I = imread('duan.jpeg');#转化为灰度图像%0.2989 * R + 0.5870 * G + 0.1140 * BI = rgb2gray(I);size = size(I);%构造两个矩阵，准备做差分c_x=[I(:,1),I(:,1:size(2)-1)];c_y=[I(1,:);I(1:size(1)-1,:)];%求其x方向的差分grad_x=I-c_x;%求其y方向的差分grad_y=I-c_y;%求梯度grad=(grad_x.^2+grad_y.^2).^1/2;imshow(grad);

结果为：
原图：

差分后的图片

项目主要就是想将图片转化为素描图像，这只是第一步。