【51NOD 1594】Gcd and Phi

Description

F(n)=∑i=1n∑j=1nφ(φ(i),φ(j))

其中 φ 表示欧拉函数。欧拉函数ϕn 是不超过n的数中与n互质的数的数目。
φ(φ(i),φ(j)) 表示i,j欧拉函数值的最大公约数的欧拉函数值.

给出n，求F(n)的值。
n<=2∗106,T<=5，时间限制：2S

Solution

直接上反演，
设fi表示i为gcd(φ(i),φ(j))的倍数的i,j的对数，
这个可以在O(nlog(n))的时间内求出来，
设gi表示i为gcd(φ(i),φ(j))的i,j的对数，
则：

fd=∑i=1⌊nd⌋gid

反演：
则：

gd=∑i=1⌊nd⌋fid∗μ(i)

Ans=∑i=1nφ(gi)

同样是O(nlog(n))的，
看到时间限制是2S，
所以我们要有梦想！
总复杂度为O(T∗(2∗nlog(n)+n))，
95分，有一个点TLE，

优化：
我们可以统计每个fi计入ans时的系数，
发现只要离线处理，就可以优化一个log，
总复杂度：O(nlog(n)+n+T∗nlog(n))

Code

顺便放上一个自己下载的数据（好贵啊QAQ）
INPUT

5653761122689111699531176611078862

OUTPUT

51735328704525236122453157773210595224735581820906732323173203129936831

---

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)#define sqr(x) ((x)*(x))using namespace std;typedef long long LL;const int N=2*1e6+10;int a[10],nn[10];LL ans[10];bool prz[N];int pr[N/2],mu[N];LL f[N],phi[N],F[N];int g[N];int main(){    mu[1]=1;phi[1]=1;    fo(i,2,N-1)    {        if(!prz[i])pr[++pr[0]]=i,mu[i]=-1,phi[i]=i-1;        fo(j,1,pr[0])        {            LL t=pr[j]*i;            if(t>=N)break;            prz[t]=1;            phi[t]=phi[i]*pr[j];            if(!(i%pr[j]))break;            mu[t]=-mu[i];            phi[t]=phi[i]*(pr[j]-1);        }    }    int __;    scanf("%d",&__);    fo(i,1,__)scanf("%d",&a[i]),nn[i]=i;    fo(i,1,__)fo(j,i+1,__)if(a[i]>a[j])swap(a[i],a[j]),swap(nn[i],nn[j]);    LL q;int n,w=0;    fo(_,1,__)    {        n=a[_];        f[1]=(LL)n;        fo(i,1,n)g[i]=0;        fo(i,max(3,w+1),n)g[phi[i]]++;        ans[nn[_]]=0;        fo(i,1,n)        {            fo(j,w/i+1,n/i)F[i*j]+=mu[j]*phi[i];        }        ans[nn[_]]=f[1]*f[1]*F[1];        fo(i,2,n)         {            fo(j,1,n/i)f[i]+=g[i*j];            ans[nn[_]]+=f[i]*f[i]*F[i];        }        w=n;    }    fo(i,1,__)printf("%lld\n", ans[i]);    return 0;}