sigmoid函数拟合的亚像素边缘

亚像素边缘检测技术是采用图像处理软件算法来提高检测精度的有效途径，该文章采用 Sigmoid函数拟合边缘模型。

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1. 边缘形状分析

由于光学器件的卷积作用以及光学衍射作用 ,在物空间剧变的灰度值经过光学成像成为渐变的形式 ,即阶跃边缘变为了渐变的边缘 , 如图 1所示 .

边缘在图像中表征为一种灰度分布, 边缘附近点的灰度值分布一般如图 2所示, 两边分别为背景和物体 ,中间灰度值的渐变部分为边缘引起的变化 .

2. Sigmoid边缘模型

Sigmoid函数又称为 S函数, 它是一个连续、光滑 、单调的阈值函数 ,在神经网络中应用广泛 .如图1所示 ,由于图像边缘经过采样后变成了一条渐变的曲线 ,因此可以用 Sigmoid曲线来拟合图像边缘 .图 3为 S函数的曲线图和边缘模型 .

Sigmoid的边缘模型为：

式中:a为边缘的最大灰度值和最小灰度值的差值 ;b为 S函数在 x轴上的偏移 , 即待拟合点的第一个点的坐标和最后一个点的坐标的差值 ;c表示边缘的倾斜程度 ,其值越大 ,边缘越平坦, 反之 ,则边缘越陡峭, 根据对边缘倾斜程度的分析 , c的取值一般在0.5左右;d为 S函数在 y轴上的偏移 ,即边缘的最小灰度值.将边缘点左右两边的灰度值和 x坐标值作为拟合数据采用非线性最小二乘差求解, 从而可求得未知数 a、b、c、d.为了求取边缘的亚像素位置, 对式 (1)求一阶导数并令 y=f(x),则有：

由式 (5)可得

此时的 y值为边缘斜率变化最大的点坐标 ,根据边缘定义, 该点的位置(x=b)就是边缘的亚像素位置 .

参考文献：

基于sigmoid函数拟合的亚像素边缘检测方法.pdf