Print Article_hdu3507_斜率优化dp

Description

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给定n个数和m(0 ≤ n ≤ 500000, 0 ≤ M ≤ 1000)，要求分成很多段且已知i到j为一段的代价为∑jk=inumk2+m，求最小代价

Analysis

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看到最优想到dp。

f[i]=min(f[j]+∑k=ijnumk2+m)

区间和我们用一个前缀和搞定，但是n很大显然会TLE，于是我们考虑优化
规定k<j<i(下文的全部ijk皆满足)，那么对f[i]而言j更优的情况就是

f[j]+(sum[i]−sum[j])2+m<f[k]+(sum[i]−sum[k])2+m

化简一下

(f[j]−f[k]+s[j]2−s[k]2)(2∗s[j]−2∗s[k])<sum[i]

也就是说若满足该条件则对于i而言j比k优

设g[j,k]=(f[j]−f[k]+s[j]2−s[k]2)(2∗s[j]−2∗s[k])
同时还可以得到一个很重要的结论，就是若g[i,j]≤g[j,k]则j一定不会成为最优解从而可以删去。

证明：若g[j,k]≥s[i]则k比j优；若g[j,k]<sum[i]则必有g[i,j]<s[i]，那么可以得出i比j优。
那么我们可以建一个单调队列来维护，每次队首的一定是最优的。每处理好一个f[i]就放入队列并把没i优的元素删去。

那么时间复杂度就由O(n^2)变成了O(n)
ll要开?当然

Code

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这么恶心的多组数据也是够坑

/*ID:wjp13241PROG:print articleLANG:C++*/#include <cstdio>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <ctime>#include <algorithm>#include <iostream>#include <vector>#include <cmath>#include <stack>#include <queue>#include <map>#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)#define dfo(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)#define fore(i,x,e) for(int i=ls[x];i;i=e[i].next)#define forp(i,a,b,t) for (int i=a;i<=b;i+=t)#define fil(x,t) memset(x,t,sizeof(x))#define FILEIN(s) freopen(s,"r",stdin)#define FILEOUT(s) freopen(s,"w",stdout)#define STP system("pause")#define min(x,y) x<y?x:y#define max(x,y) x>y?x:y#define MP(x,y) make_pair(x,y)#define PuB(v,x) v.push_back(x)#define PoB(v) v.pop_back()#define ld long double#define ll long long#define db double#define INF 0x3f3f3f3f#define LIM 100000000#define MOD 1000007#define EPS 1e-4#define N 500101#define E N*20+1#define L 21using namespace std;ll s[N],f[N];int q[N];ll getup(int x,int y){return f[x]-f[y]+s[x]*s[x]-s[y]*s[y];}ll getdown(int x,int y){return s[x]*2-s[y]*2;}inline ll read(){    ll x=0,v=1;char ch=getchar();    while (ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')v=-1;ch=getchar();}    while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}    return x*v;}int main(){    int n;ll m;    while (~scanf("%d%lld",&n,&m))    {        fil(q,0);        f[0]=0;        s[0]=0;        fo(i,1,n)        {            ll t=read();            s[i]=s[i-1]+t;        }        int st=1,ed=1;q[1]=0;        fo(i,1,n)        {            while (st<ed&&getup(q[st+1],q[st])<=s[i]*getdown(q[st+1],q[st]))                st++;            f[i]=f[q[st]]+(s[i]-s[q[st]])*(s[i]-s[q[st]])+m;            while (st<ed&&getup(i,q[ed])*getdown(q[ed],q[ed-1])<=getup(q[ed],q[ed-1])*getdown(i,q[ed]))                ed--;            q[++ed]=i;        }        printf("%lld\n",f[n]);    }    return 0;}