逐位整除数

逐位整除数是一类新颖有趣的整数；

定义n位逐位整除数：从高位开始，高1位能被1整除（显然），高2位能被2整除，……，以此类推，整个n位数能被n整除；

例如1024569就是一个7位逐位整除数，因为1024569能被7整除，高6位即102456能被6整除，高5位即10245能被5整除，……；

对指定的正整数n，搜索共有多少个不同的n位逐位整除数？存在n位逐位整除数的整数n是否有最大值？
试探索指定的n位逐位整除数，输出所有n位逐位整除数；

回溯设计

1.说明：

设置a数组，存放求解的逐位整除数的各位，a[1]存储最高位数字，a[2]存储次高位数字，……，a[n]存储n位数的个位数字；

在a数组中，数组元素a[1]为最高位，从1开始取值，显然能被1整除；a[2]从0开始取值，存放第2位数，前2位即a[1]*10+a[2]能被2整除；……
为了判别已取的 i 位数能否被i整除，设置 j 循环：

for(r=0,j=1;j<=1;j++){   r=r*10+a[j];   r=r%i;}

1）、若r=0，即该i位数能被i整除，取标志量t=0，此时有两个选择：

• 若已取了n位，则输出一个n位逐位整除数，最后一位增1后继续探索；
• 若找不到n位，则 i=i+1 继续探索下一位；

2）、若r!=0，即前i位数不能被i整除，取标志量t=1，此时a[i]=a[i]+1，即第i位增1后继续；

若增值至a[i]>9，则a[i]=0即该位清零后i=i-1迭代回溯到前一位，直到第1位增值超过9后退出循环结束；

该算法可探索并输出所有n位逐位整除数，用s统计解的个数，若s=0，说明没有找到n位逐位整除数，输出“无解”；

2.程序设计：

#include<stdio.h>int main(){   int i,j,n,r,t,s,a[100];   printf("逐位整除数n位，请确定n:");   scanf("%d",&n);   printf("所求%d位逐位整除数:\n",n);   for(j=1;j<=100;j++)      a[j]=0;   t=0;s=0;   i=1;a[1]=1;   while(a[1]<=9)   {      if(t==0&&i<n)         i++;      for(r=0,j=1;j<=i;j++)      {         r=r*10+a[j];         r=r%i;      }      if(r!=0)      {         a[i]=a[i]+1;  /*余数r！=0时，a[i]增1，t=1*/         t=1;         while(a[i]>9&&i>1)         {                       /*回溯*/             a[i]=0;            i--;            a[i]=a[i]+1;         }      }      else         t==0;      /*余数r=0时，t=0*/      if(t==0&&i==n)      {         s++;         printf("  %d:",s);         for(j=1;j<=n;j++)            printf("%d",a[j]);         printf("\n");         a[i]=a[i]+1;      }   }   if(s==0)      printf("没有找到！\n");   else      printf("共以上%d个解。\n",s);}

3.程序运行示例及其注意事项：

逐位整除数n位，请确定n:25所求25位逐位整除数:1:3608528850368400786036725

注意：输入n>25时，无解。这说明逐位整除数位数的最大值为25；

之所以说逐位整除数位数的最大值为25，是因为在这唯一的25位逐位整除数后添加0~9中任何一个数字后变为26位整数都不能被26整除。也就是说，不存在26位（及其以上）逐位整除数；

请验证以上求得的25位逐位整除数是否满足逐位整除数的整数特性：数的高k位能被k整除，k=1，2，……，25；

递推设计

根据逐位整除数的递推特性，也可以应用递推设计来求解逐位整除数；

1.说明：

• 注意到逐位整除数的构造特点：n位逐位整除数的高n-1位是一个n-1位逐位整除数。因而可在每一个n-1位逐位整除数后加一个数字j（0~9），得到一个n位数。测试该n位数如果能被n整除，则得到一个n位逐位整除数；

• 递推基础为n=1位，显然有g=9个一位数j（1~9）；

• 注意到逐位整除数的位数可能比较大，为了递推方便，设置两个二维数组：a（i，d）为k-1位的第i个逐位整除数的从高位开始第d（1~n-1）位数字，b（m，d）为递推得到k位的第m个逐位整除数的从高位开始第d（1~n）位数字；

• 完成从k-1位推出k位之后，需要把m赋值给g，把b数组赋值给a数组，为下一步递推做准备；

• 最后输出递推得到的n位逐位整除数的个数g及所有n位逐位整除数；
• 当递增至n位没有得到n位逐位整除数时（g=0），输出“无解！”后结束；

2.程序设计：

#include<stdio.h>int main(){   int d,g,i,j,k,m,n,r,a[3000][30],b[3000][30];   printf("请输入逐位整除数的位数n:");   scanf("%d",&n);   g=9;                 /*递推基础：1位时赋初值*/   for(j=1;j<=g;j++)      a[j][1]=j;   for(k=2;k<=n;k++)    /*递推位数k从2开始递增*/   {      m=0;      for(i=1;i<=g;i++) /*枚举g个k-1位逐位整除数*/         for(j=0;j<=9;j++)  /*k位数的个位数字为j*/         {            a[i][k]=j;            for(r=0,d=1;d<=k;d++) /*检测k位数除k的余数r*/            {               r=r*10+a[i][d];               r=r%k;            }            if(r==0)            {               m++;               for(d=1;d<=k;d++)                  b[m][d]=a[i][d];  /*满足条件的k位数赋值给b数组*/            }         }      g=m;           /*递推得g个k位逐位整除数*/      for(i=1;i<=g;i++)         for(d=1;d<=k;d++)            a[i][d]=b[i][d];   /*g个b数组向a数组赋值，准备下步递推*/   }   if(g>0)   /*输出n位的个数及每一个数*/   {      printf("%d位逐位整除数共%4d个:\n",n,g);      for(i=1;i<=g;i++)      {         printf("  %d:",i);         for(d=1;d<=n;d++)            printf("%d",a[i][d]);          printf("\n");      }   }   else      printf("无解！\n");}

3.程序运行示例及其注意事项：

请输入逐位整除数的位数n:2424位逐位整除数共   3个:  1:144408645048225636603816  2:360852885036840078603672  3:402852168072900828009216

注意：事实上，唯一的一个25位逐位整除数就是在以上第二个24位逐位整除数后加上一个数字“5”而成。而以上其他两个24位逐位整除数后加上任意一个数字后所得25位数都不能被25整除；（注意到本例n不可能大于25，在此范围内以上两个程序设计均能快速求得相应的解）

变通：修改算法，求解n位逐位整除数的个数f（n）的最大值；