目标函数优化中的三种梯度

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 考虑一个关于参数矩阵 W 的标量目标函数 J(W) 的极小化问题，即

Wopt=argminWJ(W)

    通常，给定 W 的一个初值 W0 ，通过“迭代更新”的方法来搜索求解 Wopt 。设第 k步迭代的矩阵为 W(k) ，则 W(k) 的迭代更新方程可表示为

W(k+1)=W(k)+ΔW(k)

其中 ΔW(k) 为迭代“调整量”或“增量”。现在的问题是：如何选择 ΔW(k) ，使得上式能以最快的速度收敛到 Wopt ？

1. 基于“常规梯度”的调整量

    “常规梯度”就是 J(W) 对 W 的微分，即 ∂J(W)/∂W 。选择

ΔW∝−∂J(W)∂W

作为调整量，则

W(k+1)=W(k)−α(k)∂J(W)∂W∣∣∣W=W(k)

    在欧几里得正交坐标系里，“负”常规梯度方向是 J(W) 下降最快的方向，所以上式的更新方法称为“最陡下降法”。最陡下降法虽然简单，但是它的不足之处是：

（1）除非 J(W) 非常简单和光滑，否则最陡下降法将 W 引导至最接近的“局部”极值点，而不是“全局”最小点。而非二次型的目标函数具有很多的局部极大点或极小点，因此，初值 W0 的选择非常重要。

（2）如果 J(W) 在极小值附近比较平坦，则在 J(W) 接近最小点时， ∂J(W)/∂W非常小（接近于0）。如果 α(k) 恒定或设置过小，导致在最小点附近收敛速度相当慢；反之， α(k) 设置过大，会导致过冲和不稳定，因此， α(k) 的选取也是一个比较困难的问题。

2. 基于“自然梯度”的调整量

    在利用迭代更新方程对 W 进行更新时，一个非常“自然”的想法是：在保持 ∥ΔW∥2不变的前提下，寻找一个最佳的方向，使得 J(W+ΔW) 最小。

    Amari对这个想法进行了深入的研究，利用黎曼几何的有关理论证明，该最佳方向

不是“负”常规梯度方向，而是“负”黎曼梯度！因此， ΔW 应选择为

ΔW∝−∂J(W)∂WWTW

    并将

∂J(W)∂WWTW

定义为 J(W) 的“自然梯度”。

3. 基于“相对梯度”的调整量

    Cardoso等人从等变化性出发，给出了 J(W) 的“相对梯度”。其基本思想是：调整量 ΔW 正比于 W 自身，即 ΔW=DW ，选择适当的 D ，使得 J(W+ΔW) 最小。分析表明，当

D∝−∂J(W)∂WWT

时， J(W+ΔW) 取得最小值，此时有

ΔW∝−∂J(W)∂WWTW

    Cardoso等人将

∂J(W)∂WWT

定义为 J(W) 的“相对梯度”。

    比较常规梯度、自然地图和相对梯度可知：

（1）对于矩阵 W 的目标函数 J(W) ，基于“自然梯度”调整量和基于“相对梯度”调整量是等价的，表明自然梯度也具有等变化性。

（2）对于标量 w 的目标函数 J(w) 或向量 w 的目标函数 J(w) ，对于常规梯度、自然梯度和相对梯度的调整量基本上是等价的。