系统稳定性

参考文献：
谢克明，现代控制理论，清华大学出版社，2005.

系统的运动稳定性可以分为：基于输入输出描述的外部稳定性和基于状态空间描述的内部稳定性。

内部稳定性和外部稳定性的关系：
对连续时间线性定常系统

{x˙=Ax+Buy=Cx+Dux(0)=x0,t≥0,

若系统为内部稳定即渐近稳定，则系统必为BIBO稳定即外部稳定；系统为BIBO稳定即外部稳定不能保证系统必为内部稳定即渐近稳定。

Lyapunov稳定性：

系统的Lyapunov稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动时，经过“足够长”的时间以后，系统恢复到平衡状态的能力。系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而言的。
1． 平衡状态
设系统状态方程为x˙=f(x,t)，若对所有t满足x˙=0，则称该状态x为平衡状态，记为xe，下式成立

f(xe,t)=0,

满足上式中的点，称为平衡点。
1． Lyapunov稳定性
(1) Lyapunov意义下的稳定性
对于系统x˙=f(x,t)，若任意给定实数ε>0,都存在另一个实数δ(ε,t0)>0，使当∥x0−xe∥≤δ时，从任意初态x0出发的解Φ(t,x0,t0)满足

∥Φ(t,x0,t0)−xe∥≤ε,t≥t0

则称系统的平衡状态xe是稳定的，其中δ(ε,t0)是关于t0有关的实数；若δ与t0无关，则称xe是一致稳定的。
对于定常系统，δ与t0无关，此时稳定的平衡状态一定是一致稳定的。
（2） 渐近稳定性
对于系统x˙=f(x,t)，若任意给定实数ε>0,都存在另一个实数δ(ε,t0)>0，使当∥x0−xe∥≤δ时，从任意初态x0出发的解Φ(t,x0,t0)满足

∥Φ(t,x0,t0)−xe∥≤ε,t≥t0

且对于实数δ(ε,t0)>0和任意给定的实数μ>0，对应地存在实数T(μ,δ,t0)>0总有，

limt→∞∥Φ(t,x0,t0)−xe∥≤μ,t≥t0+T(μ,δ,t0)

则称平衡状态xe是渐近稳定的。
渐近稳定比稳定性有更强的性质。
（3） 大范围渐近稳定
如果系统x˙=f(x,t)在任意初始状态x0下的每一个解，当t→∞时，都收敛于xe，那么系统的平衡状态xe叫大范围渐近稳定的。
（4） 不稳定性
对于系统x˙=f(x,t)，若任意给定实数ε>0和任一实数δ>0，使当∥x0−xe∥≤δ时，总存在一个初态x0，使

∥Φ(t,x0,t0)−xe∥>ε,t≥t0

则称平衡状态xe是不稳定的。

Lyapunov第一法：

1. 线性定常系统
   线性定常系统x˙=Ax，渐近稳定的充要条件是系统矩阵A的特征值λ均具有负实部，即
   
   Re(λi)<0,i=1,2,⋯,n
2. 线性时变系统
   线性时变系统x˙=A(t)x，其状态解为x(t)=Φ(t,t0)x(t0)，根据Lyapunov稳定性定义，有：
   1） 若存在某正数N(t0)，对于任意t0和t≥t0，有∥Φ(t,t0)∥≤N(t0)，则系统稳定；
   2） 若存在某正数N(t0)，对于任意t0和t≥t0，有∥Φ(t,t0)∥≤N，则系统一致稳定；
   3） 若存在某正数N(t0)，对于任意t0和t≥t0，有limt→∞∥Φ(t,t0)∥→0，则系统渐近稳定；
   4） 若存在某常数N>0, C>0，则对于任意t0和t≥t0，有∥Φ(t,t0)∥≤Ne−C(t−t0)，则系统一致渐近稳定。
3. 非线性定常系统
   非线性定常系统的自治状态方程为x˙=f(x)，f(x)对状态向量x有连续的偏导数，在平衡状态xe=0处展成泰勒级数，则
   
   x˙=Ax+R(x)
   ，
   式中A为雅可比矩阵，R(x)包含对x的二次及二次以上的高阶导数。
   1） 若A的特征值都具有负实部，则系统是在 的足够小领域内渐近稳定的；
   2） 若A的特征值中，至少有一个具有正的实部，则不论被忽略的高阶导数项R(x)如何，系统的平衡状态总是不稳定的；
   3） 若A的特征值中，至少有一个实部为0，此时原线性系统不能用线性化方程来判断其稳定性。