量化分析师的Python日记【Q Quant兵器谱 -之偏微分方程1】

从今天开始我们将进入一个系列 —— 偏微分方程。作为这一系列的开篇，我们以热传导方差为引子，引出：

1. 如何提一个偏微分方程的初边值问题；
2. 利用差分格式将偏微分方程离散化；
3. 显示差分格式；
4. 显示差分格式的条件稳定性。

最后一点将作为伏笔，引出我们下一天的学习：无条件稳定格式。

1. 热传导方程

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我们这里使用1D热传导方程作为例子：

⎧⎩⎨⎪⎪uτ−κuxx\[3pt]u(x,0)\[3pt]u(0,τ)\[3pt]u(1,τ)=0,0≤x≤1[1]=4x(1−x),0≤x≤1[2]=0,τ≥0[3]=0,τ≥0[4]

其中：

• κ 称为热传导系数
• [2] 称为方程的初值条件（Initial Condition)
• [3][4] 称为方程的边值条件 （Boundaries Condition）。这里我们使用Dirichlet条件

我们可以看一下初值条件的形状:

from matplotlib import pylabimport seaborn as snsimport numpy as npfrom CAL.PyCAL import *font.set_size(20)def initialCondition(x):    return 4.0*(1.0 - x) * xxArray = np.linspace(0,1.0,50)yArray = map(initialCondition, xArray)pylab.figure(figsize = (12,6))pylab.plot(xArray, yArray)pylab.xlabel('$x$', fontsize = 15)pylab.ylabel('$f(x)$', fontsize = 15)pylab.title(u'一维热传导方程初值条件', fontproperties = font)

2. 显式差分格式

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这里的基本思想是用差分格式替换对应的微分形式，并且期盼两种格式的"误差"在网格足够密的情况下会趋于0。我们分别在时间方向以及空间方向做差分格式：

\begin{align}\frac{\partial u(x_j, \tau_k)}{\partial\tau} &= \frac{u_{j,k+1} - u_{j,k}}{\Delta \tau} + O(\Delta \tau) \\\\\frac{\partial^2 u(x_j, \tau_k)}{\partial x^2} &= \frac{u_{j-1,k} - 2u_{j,k} + u_{j+1,k}}{\Delta x^2} + O(\Delta x^2) \\\\\end{align}

合并在一起，我们就得到了原始微分方程的差分格式：

\begin{align}u_{\tau}(x_j,\tau_k) - \kappa u_{xx}(x_j,\tau_k) &= 0 \\\\\frac{u_{j,k+1} - u_{j,k}}{\Delta \tau} - \kappa \frac{u_{j-1,k} - 2u_{j,k} + u_{j+1,k}}{\Delta x^2} &= O(\Delta \tau) + O(\Delta x^2)\end{align}

这里我们使用差分网格上的近似值Uj,k代替uj,k，得到新的方程：

\begin{align}&\frac{U_{j,k+1} - U_{j,k}}{\Delta \tau} - \kappa \frac{U_{j-1,k} - 2U_{j,k} + U_{j+1,k}}{\Delta x^2} &= 0, \\\\\Rightarrow& \quad U_{j,k+1} - U_{j,k} - \frac{\kappa\Delta \tau}{\Delta x^2}(U_{j-1,k} - 2U_{j,k} + U_{j+1,k}) &= 0, \\\\\Rightarrow& \quad U_{j,k+1} - U_{j,k} - \rho(U_{j-1,k} - 2U_{j,k} + U_{j+1,k}) &= 0.\end{align}

到这里我们得到一个迭代方程组：

Uj,k+1=ρUj−1,k+(1−2ρ)Uj,k+ρUj+1,k,1≤j≤N−1,0≤k≤M−1

其中 ρ=κΔτΔx2。下面我们使用Python代码实现上面的过程。

首先定义基本变量：

• N 空间方向的网格数
• M 时间方向的网格数
• T 最大时间期限
• X 最大空间范围
• U 用来存储差分网格点上值得矩阵

N = 25   # x方向网格数M = 2500  # t方向网格数T = 1.0X = 1.0xArray = np.linspace(0,X,N+1)yArray = map(initialCondition, xArray)starValues = yArrayU = np.zeros((N+1,M+1))U[:,0] = starValues

dx = X / Ndt = T / Mkappa = 1.0rho = kappa * dt / dx / dx

这里我们做正向迭代：迭代时k=0,1...M−1, 代表我们从0时刻运行至T

for k in range(0, M):    for j in range(1, N):        U[j][k+1] = rho * U[j-1][k] + (1. - 2*rho) * U[j][k] + rho * U[j+1][k]    U[0][k+1] = 0.    U[N][k+1] = 0.

我们可以画出不同时间点U(,˙τk) 的结果：

pylab.figure(figsize = (12,6))pylab.plot(xArray, U[:,0])pylab.plot(xArray, U[:, int(0.10/ dt)])pylab.plot(xArray, U[:, int(0.20/ dt)])pylab.plot(xArray, U[:, int(0.50/ dt)])pylab.xlabel('$x$', fontsize = 15)pylab.ylabel(r'$U(\dot, \tau)$', fontsize = 15)pylab.title(u'一维热传导方程', fontproperties = font)pylab.legend([r'$\tau = 0.$', r'$\tau = 0.10$', r'$\tau = 0.20$', r'$\tau = 0.50$'], fontsize = 15)

也可以通过三维立体图看一下整体的热传导过程：

tArray = np.linspace(0, 0.2, int(0.2 / dt) + 1)xGrids, tGrids = np.meshgrid(xArray, tArray)

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3Dfrom matplotlib import cmfig= pylab.figure(figsize = (16,10))ax = fig.add_subplot(1, 1, 1, projection = '3d')surface = ax.plot_surface(xGrids, tGrids, U[:,:int(0.2 / dt) + 1].T, cmap=cm.coolwarm)ax.set_xlabel("$x$", fontdict={"size":18})ax.set_ylabel(r"$\tau$", fontdict={"size":18})ax.set_zlabel(r"$U$", fontdict={"size":18})ax.set_title(u"热传导方程 $u_\\tau = u_{xx}$" , fontproperties = font)fig.colorbar(surface,shrink=0.75)

3. 组装起来

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就像在前一天二叉树建模中介绍的一样，我们这里会以面向对象的方式重新封装分散的代码，方便复用。首先是方程的描述：

class HeatEquation:        def __init__(self, kappa, X, T,             initialConstion = lambda x:4.0*x*(1.0-x), boundaryConditionL = lambda x: 0, boundaryCondtionR = lambda x:0):        self.kappa = kappa        self.ic = initialConstion        self.bcl = boundaryConditionL        self.bcr = boundaryCondtionR        self.X = X        self.T = T

下面的是显式差分格式的描述：

class ExplicitEulerScheme:        def __init__(self, M, N, equation):        self.eq = equation        self.dt = self.eq.T / M        self.dx = self.eq.X / N        self.U = np.zeros((N+1, M+1))        self.xArray = np.linspace(0,self.eq.X,N+1)        self.U[:,0] = map(self.eq.ic, self.xArray)        self.rho = self.eq.kappa * self.dt / self.dx / self.dx        self.M = M        self.N = N            def roll_back(self):        for k in range(0, self.M):            for j in range(1, self.N):                self.U[j][k+1] = self.rho * self.U[j-1][k] + (1. - 2*self.rho) * self.U[j][k] + self.rho * self.U[j+1][k]        self.U[0][k+1] = self.eq.bcl(self.xArray[0])        self.U[N][k+1] = self.eq.bcr(self.xArray[-1])        def mesh_grids(self):        tArray = np.linspace(0, self.eq.T, M+1)        tGrids, xGrids = np.meshgrid(tArray, self.xArray)        return tGrids, xGrids

有了以上的部分，现在整个过程可以简单的通过初始化和一行关于roll_back的调用完成：

ht = HeatEquation(1.,1.,1.)scheme = ExplicitEulerScheme(2500,25, ht)scheme.roll_back()

我们可以获取与之前相同的图像：

tGrids, xGrids = scheme.mesh_grids()fig= pylab.figure(figsize = (16,10))ax = fig.add_subplot(1, 1, 1, projection = '3d')cutoff = int(0.2 / scheme.dt) + 1surface = ax.plot_surface(xGrids[:,:cutoff], tGrids[:,:cutoff], scheme.U[:,:cutoff], cmap=cm.coolwarm)ax.set_xlabel("$x$", fontdict={"size":18})ax.set_ylabel(r"$\tau$", fontdict={"size":18})ax.set_zlabel(r"$U$", fontdict={"size":18})ax.set_title(u"热传导方程 $u_\\tau = u_{xx}$" , fontproperties = font)fig.colorbar(surface,shrink=0.75)

4. 什么时候显式格式会失败？

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显式格式不能任意取时间和空间的网格点数，即M与N不能随意取值。我们称显式格式为条件稳定。特别地，需要满足所谓CFL条件（Courant–Friedrichs–Lewy）：

0≤ρ=κΔτΔx2≤0.5

例如：

• M = 2500
• N = 25

则：

ρ=κΔτΔx2=0.25≤0.5

• M = 1200
• N = 25

则：

ρ=κΔτΔx2=0.521≥0.5

下面的代码计算在第二种情形下的网格点计算过程：

ht = HeatEquation(1.,1.,1.)scheme = ExplicitEulerScheme(1200,25, ht)scheme.roll_back()

我们可以通过下图看到，在CFL条件无法满足的情况下，数值误差累计的结果（特别注意后面的锯齿）：

tGrids, xGrids = scheme.mesh_grids()fig= pylab.figure(figsize = (16,10))ax = fig.add_subplot(1, 1, 1, projection = '3d')cutoff = int(0.2 / scheme.dt) + 1surface = ax.plot_surface(xGrids[:,:cutoff], tGrids[:,:cutoff], scheme.U[:,:cutoff], cmap=cm.coolwarm)ax.set_xlabel("$x$", fontdict={"size":18})ax.set_ylabel(r"$\tau$", fontdict={"size":18})ax.set_zlabel(r"$U$", fontdict={"size":18})ax.set_title(u"热传导方程 $u_\\tau = u_{xx}$, $\\rho = 0.521$" , fontproperties = font)fig.colorbar(surface,shrink=0.75)

今天的日记到此为止，还想继续了解的请戳

我们会在下一篇中进行讨论，引出无条件稳定格式：隐式差分格式（Implicit）。