算法题整理

四、简单写的伪代码，思路肯定没错，具体的我还没实现

五、（1）快速排序是利用分治法，快速排序采用的思想是分治思想。

它的基本过程是：通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。是分区操作，即如何调整基准的位置以及调整返回基准的最终位置以便分治递归。（我觉得就是把大的拆分为小的，每一趟排序，把比选定值小的数字放在它的左边，比它大的值放在右边；重复以上步骤，直到每个区间只有一个数。此时数组已经排序完成。）

合并排序法是通过将两个有序的序列合并为一个大的有序的序列的方式来实现排序。合并排序是一种典型的分治算法：首先将序列分为两部分，然后对每一部分进行循环递归的排序，然后逐个将结果进行合并。合并排序最大的优点是它的时间复杂度为O(nlgn)，这个是我们之前的选择排序和插入排序所达不到的。他还是一种稳定性排序，也就是相等的元素在序列中的相对位置在排序前后不会发生变化。他的唯一缺点是，需要利用额外的N的空间来进行排序。

（2）在合并排序中，我们要创建一个大小为N的辅助排序数组来存放初始的数组或者存放合并好的数组，所以需要长度为N的额外辅助空间。

二、1、分治算法的基本思想是将一个规模为N的问题分解为K个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题性质相同。求出子问题的解，就可得到原问题的解。

将待排序元素分成大小大致相同的2个子集合(递归直到最小的排序单元），分别对2个子集合进行排序，最终将排好序的子集合合并成为所要求的排好序的集合。

举例：下面我们用一张图来展示整个流程,最下面的（姑且叫他第一层）是原始数组分成了8个最小排序问题，各自只有一个元素，故不需要排序，大家可以看到，我们通过分而治之的思想把对最初数组的排序分为了若干个只有一个元素的小数组的排序,然后第二层,我们进行了合并，将每两个最小排序结果合并为有两个元素的数组,然后逐层往上进行合并，就有了最后的结果…

2、深度优先搜索算法（Depth-First-Search），是搜索算法的一种。是沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深的搜索树的分支。当节点v的所有边都己被探寻过，搜索将回溯到发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个进程反复进行直到所有节点都被访问为止。（PS：其实总结起来就是先跟遍历，比如一个二叉树，用深度优先搜搜就是从树的左边开始一直往下搜索，直到叶子节点然后再搜索右子树）

 

假设初始状态是图中所有顶点都未被访问，则深度优先搜索方法的步骤是：

1）选取图中某一顶点Vi为出发点，访问并标记该顶点；

2）以Vi为当前顶点，依次搜索Vi的每个邻接点Vj，若Vj未被访问过，则访问和标记邻接点Vj，若Vj已被访问过，则搜索Vi的下一个邻接点；

3）以Vj为当前顶点，重复步骤2），直到图中和Vi有路径相通的顶点都被访问为止；

4）若图中尚有顶点未被访问过（非连通的情况下），则可任取图中的一个未被访问的顶点作为出发点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问。

深度优先搜索是图论中的经典算法，利用深度优先搜索算法可以产生目标图的相应拓扑排序表，利用拓扑排序表可以方便的解决很多相关的图论问题，如最大路径问题、八皇后问题等等。

八皇后问题：在标准国际象棋的棋盘上（8*8格）准备放置8只皇后，我们知道，国际象棋中皇后的威力是最大的，她既可以横走竖走，还可以斜着走，遇到挡在她前进路线上的敌人，她就可以吃掉对手。要求在棋盘上安放8只皇后，使她们彼此互相都不能吃到对方，求皇后的放法。

解法：

这是一道很经典的题目了，我们先要明确一下思路，如何运用深度优先搜索法，完 成这道题目。我们先建立一个8*8格的棋盘，在棋盘的第一行的任意位置安放一只皇后。紧接着，我们就来放第二行，第二行的安放就要受一些限制了，因为与第一行的皇后在同一竖行或同一对角线的位置上是不能安放 皇后的，接下来是第三行，……，或许我们会遇到这种情况，在摆到某一行的时候，无论皇后摆放在什么位置，她都会被其他行的皇后吃掉，这说明什么呢？这说明，我们前面的摆放是失败的，也就是说，按照前面 的皇后的摆放方法，我们不可能得到正确的解。那这时怎么办？改啊，我们回到上一行，把原先我们摆好的皇后换另外一个位置，接着再回过头摆这一行，如果这样还不行或者上一行的皇后只有一个位置可放，那怎 么办？我们回到上一行的上一行，这和老鼠碰了壁就回头是一个意思。就这样的不断的尝试，修正,我们最终会得到正确的结论的。

三、1、

对于n个待排序元素，在未比较时，可能的正确结果有n!种。

在经过一次比较后，其中两个元素的顺序被确定，所以可能的正确结果剩余n!/2种。

依次类推，直到经过m次比较，剩余可能性n!/(2^m)种。

直到n!/(2^m)<=1时，结果只剩余一种。此时的比较次数m为o(nlogn)次。

所以基于排序的比较算法，最优情况下，复杂度是o(nlogn)的。

 

2、我觉得应该是二分法

    假设数据是按升序排序的,对于给定值x,从序列的中间位置开始比较,如果当前位置值等于x,则查找成功；若x小于当前位置值,则在数列的前半段中查找；若x大于当前位置值则在数列的后半段中继续查找,直到找到为止.
由于是数组是预先排序好的,所以可以采用折半查询的方式,每次抛掉待查询部分的一半
这样,长度为N的数组,只需要log2N次查询即可,2是对数的底.
例如,长度为7的数组,最多只需要3次就可以找到
O(log2n)只是表示是log2N同一数量级,因为有个取整的问题,而且也有可能在查询过程中就已经找到（也就是某个折半查询点正好是待查询数据）,这样O(log2n)就是一个上限