数学公式及证明(持续更新)
来源:互联网 发布:金牌橱柜知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/05/22 01:40
1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + n^2 = n*(n+1)*(2*n+1)/ 6
证:
n^3 - (n-1)^3 = 3*n^2-3*n+1
……
3^3 - 2^3 = 3*3^2-3*3+1
2^3 - 1^3 = 3*2^2-3*2+1
1^3 - 0^3 = 3*1^2 - 3*1 + 1
上述所有式子左右同时相加得:n^3 = 3*(1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + n^2)- 3*(1 + 2 + 3 + …… + n) + n
3*(1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + n^2)= n^3 + 3*(1 + 2 + 3 + …… + n) - n
3*(1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + n^2)= n^3 + 3*n*(n+1)/ 2 - n
两边同除以3,转化得
(1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + n^2)= (2*n^3 + 3*n*(n+1) - 2*n)/ 6
(1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + n^2)= (2*n^3 + 3*n^2 + 3*n - 2*n)/ 6
(1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + n^2)= (2*n^3 + 3*n^2 + n)/ 6
(1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + n^2)= n*(2*n^2 + 3*n + 1)/ 6
(1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + n^2)= n *(n+1)*(2*n+1)/ 6
∴ 1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + n^2 = n*(n+1)*(2*n+1)/ 6
1*2 + 2*3 + 3*4 + …… + n*(n+1) = n*(n+1)*(n+2)/ 3
证:
1*2 + 2*3 + 3*4 + …… + n*(n+1) = 1^2+1 + 2^2+2 + 3^2+3 + …… n^2+n
1*2 + 2*3 + 3*4 + …… + n*(n+1) = (1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + n^2) + (1+2+3+……+n)
∵ 1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + n^2 = n*(n+1)*(2*n+1)/ 6 -------------------------------- 正好是上面的证明
1*2 + 2*3 + 3*4 + …… + n*(n+1) = n*(n+1)*(2*n+1)/ 6 + n*(n+1)/ 2
1*2 + 2*3 + 3*4 + …… + n*(n+1) = n*(n+1)*(2*n+1)/ 6 + 3* n*(n+1)/ 6
1*2 + 2*3 + 3*4 + …… + n*(n+1) = n*(n+1)*(2*n+4)/ 6
∴ 1*2 + 2*3 + 3*4 + …… + n*(n+1) = n*(n+1)*(n+2)/ 3
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