数据结构之图

基本概念

图(Graph)：图(Graph)是一种比线性表和树更为复杂的数据结构。
图结构：是研究数据元素之间的多对多的关系。在这种结构中，任意两个元素之间可能存在关系。即结点之间的关系可以是任意的，图中任意元素之间都可能相关。
图G由两个集合V(顶点Vertex)和E(边Edge)组成，定义为G=(V，E)
线性结构：是研究数据元素之间的一对一关系。在这种结构中，除第一个和最后一个元素外，任何一个元素都有唯一的一个直接前驱和直接后继。
树结构：是研究数据元素之间的一对多的关系。在这种结构中，每个元素对下(层)可以有0个或多个元素相联系，对上(层)只有唯一的一个元素相关，数据元素之间有明显的层次关系。

图相关的概念和术语

一个图(G)定义为一个偶对(V,E) ，记为G=(V,E) 。其中： V是顶点(Vertex)的非空有限集合，记为V(G)；E是无序集V&V的一个子集，记为E(G) ，其元素是图的弧(Arc)。
将顶点集合为空的图称为空图。其形式化定义为：

G=(V ，E)V={v|vdata object}E={<v,w>| v,wV∧p(v,w)}

1. 无向图和有向图

对于一个图，若每条边都是没有方向的，则称该图为无向图。图示如下：

因此，(Vi，Vj)和(Vj，Vi)表示的是同一条边。注意，无向图是用小括号，而下面介绍的有向图是用尖括号。
无向图的顶点集和边集分别表示为：
V(G)={V1，V2，V3，V4，V5}
E(G)={(V1，V2)，(V1，V4)，(V2，V3)，(V2，V5)，(V3，V4)，(V3，V5)，(V4，V5)}
对于一个图G，若每条边都是有方向的，则称该图为有向图。图示如下：

有向图的顶点集和边集分别表示为：
V(G)={V1，V2，V3}
E(G)={

2,无向完全图和有向完全图

我们将具有n(n-1)/2条边的无向图称为无向完全图。同理，将具有n(n-1)条边的有向图称为有向完全图。

完全无向图

对于无向图，若图中顶点数为n ，用e表示边的数目，则e [0，n(n-1)/2] 。具有n(n-1)/2条边的无向图称为完全无向图。
完全无向图另外的定义是：
对于无向图G=(V，E)，若vi，vj V ，当vi≠vj时，有(vi ,vj)E，即图中任意两个不同的顶点间都有一条无向边，这样的无向图称为完全无向图。
#### 完全有向图
对于有向图，若图中顶点数为n ，用e表示弧的数目，则e[0，n(n-1)] 。具有n(n-1)条边的有向图称为完全有向图。
完全有向图另外的定义是：
对于有向图G=(V，E)，若vi，vjV ，当vi ≠vj时，图中任意两个不同的顶点间都有一条弧，这样的有向图称为完全有向图。

子图和生成子图

设有图G=(V，E)和G’=(V’，E’)，若V’V且E’E ，则称图G’是G的子图；若V’=V且E’E，则称图G’是G的一个生成子图。

连通图(无向图)

连通图是指图G中任意两个顶点Vi和Vj都连通，则称为连通图。比如图(b)就是连通图。下面是一个非连通图的例子。

图的创建和遍历

图的遍历方法

1) 深度优先搜索遍历
深度优先搜索DFS遍历类似于树的前序遍历。其基本思路是：
a) 假设初始状态是图中所有顶点都未曾访问过，则可从图G中任意一顶点v为初始出发点，首先访问出发点v，并将其标记为已访问过。
b) 然后依次从v出发搜索v的每个邻接点w，若w未曾访问过，则以w作为新的出发点出发，继续进行深度优先遍历，直到图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。
c) 若此时图中仍有顶点未被访问，则另选一个未曾访问的顶点作为起点，重复上述步骤，直到图中所有顶点都被访问到为止。
图示如下：

注：红色数字代表遍历的先后顺序，所以图(e)无向图的深度优先遍历的顶点访问序列为：V0，V1，V2，V5，V4，V6，V3，V7，V8
如果采用邻接矩阵存储，则时间复杂度为O(n2)；当采用邻接表时时间复杂度为O(n+e)。
2) 广度优先搜索遍历
广度优先搜索遍历BFS类似于树的按层次遍历。其基本思路是：
a) 首先访问出发点Vi
b) 接着依次访问Vi的所有未被访问过的邻接点Vi1，Vi2，Vi3，…，Vit并均标记为已访问过。
c) 然后再按照Vi1，Vi2，… ，Vit的次序，访问每一个顶点的所有未曾访问过的顶点并均标记为已访问过，依此类推，直到图中所有和初始出发点Vi有路径相通的顶点都被访问过为止。
图示如下：

因此，图(f)采用广义优先搜索遍历以V0为出发点的顶点序列为：V0，V1，V3，V4，V2，V6，V8，V5，V7
如果采用邻接矩阵存储，则时间复杂度为O(n2)，若采用邻接表，则时间复杂度为O(n+e)。

图的其他算法实现

图的创建

AdjGraph  *Create_Graph(MGraph * G){   printf(“请输入图的种类标志：”) ;scanf(“%d”, &G->kind) ;G->vexnum=0 ;       /*  初始化顶点个数  */return(G) ; }

图的顶点定位

图的顶点定位操作实际上是确定一个顶点在vexs数组中的位置(下标) ，其过程完全等同于在顺序存储的线性表中查找一个数据元素。

int  LocateVex(MGraph *G , VexType *vp)    {  int  k ;       for (k=0 ; k<G->vexnum ; k++)            if (G->vexs[k]==*vp)  return(k) ;       return(-1) ;     /*  图中无此顶点  */   }

向图中增加顶点

向图中增加一个顶点的操作，类似在顺序存储的线性表的末尾增加一个数据元素。

int  AddVertex(MGraph *G , VexType *vp) {  int  k , j ;if  (G->vexnum>=MAX_VEX){  printf(“Vertex Overflow !\n”) ; return(-1) ;  }if  (LocateVex(G , vp)!=-1){  printf(“Vertex has existed !\n”) ; return(-1) ; }k=G->vexnum ; G->vexs[G->vexnum++]=*vp ;if (G->kind==DG||G->kind==AG) for (j=0 ; j<G->vexnum ; j++)G->adj[j][k].ArcVal=G->adj[k][j].ArcVal=0 ;      /*  是不带权的有向图或无向图  */elsefor (j=0 ; j<G->vexnum ; j++)  {   G->adj[j][k].ArcVal=INFINITY ;    G->adj[k][j].ArcVal=INFINITY ;         /*  是带权的有向图或无向图  */}return(k) ;}

向图中增加一条弧

根据给定的弧或边所依附的顶点，修改邻接矩阵中所对应的数组元素。

int  AddArc(MGraph *G , ArcType *arc) {   int  k , j ;k=LocateVex(G , &arc->vex1)  ;j=LocateVex(G , &arc->vex1)  ;if (k==-1||j==-1)     {  printf(“Arc’s Vertex do not existed !\n”) ;return(-1) ;if (G->kind==DG||G->kind==WDG) {  G->adj[k][j].ArcVal=arc->ArcVal;G->adj[k][j].ArcInfo=arc->ArcInfo ;        /*  是有向图或带权的有向图*/}else{  G->adj[k][j].ArcVal=arc->ArcVal ;G->adj[j][k].ArcVal=arc->ArcVal ;G->adj[k][j].ArcInfo=arc->ArcInfo ;G->adj[j][k].ArcInfo=arc->ArcInfo ;      /*  是无向图或带权的无向图,需对称赋值  */}return(1) ;  

最小生成树

一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。那么我们把构造连通网的最小代价生成树称为最小生成树。
找连通网的最小生成树，经典的有两种算法，普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。

邻接矩阵存储

@Test      public void Dijkstra(){          int distance[] = new int[9];          int pre[] = new int[9];          boolean finished[] = new boolean[9];          finished[0] = true;          for(int i=0;i<9;i++){              distance[i] = g1.adjMatrix[0][i];          }          int k = 0;          for(int i=1;i<9;i++){              int min = 65536;              for(int j=0;j<9;j++){                  if(!finished[j]&&distance[j]<min){                      min = distance[j];                      k = j;                  }              }              finished[k] = true;              System.out.println(pre[k]+","+k);              for(int j=1;j<9;j++){                  if(!finished[j]&&(min+g1.adjMatrix[k][j])<distance[j]){                      distance[j] = min+g1.adjMatrix[k][j];                      pre[j] = k;                  }              }          }      }  

拓扑排序

(1)栈：用来存放入度为0的节点；
(2)变种邻接列表：作为图的存储结构；此邻接列表的顶点节点还需要存放入度属性；

private static String topologicalSort(Graph2 g2) {          Stack<Integer> s = new Stack<Integer>();          int count = 0;          for(int i=0;i<g2.nodes.length;i++){              if(g2.nodes[i].indegree==0){                  s.push(i);              }          }          while(!s.isEmpty()){              int value = s.pop();              System.out.println(value+"、");              count++;              EdgeNode node = g2.nodes[value].next;              while(node!=null){                  g2.nodes[node.idx].indegree--;                  if(g2.nodes[node.idx].indegree==0){                      s.push(node.idx);                  }                  node = node.next;              }          }          if(count<g2.nodes.length){              return "error";          }          return "ok";      }  

图的边表存储结构

在某些应用中，有时主要考察图中各个边的权值以及所依附的两个顶点，即图的结构主要由边来表示，称为边表存储结构。
在边表结构中，边采用顺序存储，每个边元素由三部分组成：边所依附的两个顶点和边的权值；图的顶点用另一个顺序结构的顶点表存储。如图：