几何造型

几何造型研究三维几何信息如何在计算机内表示、分析和综合几何造型是内在的理论基础和关键技术，是随着航空、汽车等现代工业发展与计算机的出现而产生与发展起来的一门学科几何造型作为信息技术的一个重要组成部分，将计算机高速、海量数据存储及处理和挖掘能力与人的综合分析及创造性思维能力结合起来，对加速产品开发、缩短设计制造周期、提高质量、降低成本、增强企业市场竞争能力与创新能力发挥着重要作用。

几何造型这个术语首先是在年代初期，随着计算机图形学、计算机铺助设计和制造技术的迅速发展开始使用的它是几何学与计算机的完美结合几何造型包括两个分支第一个分支研究在计算机内如何描述一张曲面，如何对它的形状进行交互式的显示与控制，即曲面造型第二个分支发展较晚，它着重研究如何在计算机内定义、示一个三维物体，即所谓实体造型曲面造型与实体造型是互相支持、互相补充的光有曲面造型，我们的目光就会停留在组成物体的一张张表面上，无法去计算和分析物体的许多整体性质，如物体的体积、表面积、重心等，也不能将这个物体作为一个整体去考察它与其它物体相互关联的性质如两个物体是否相交如不相交，它们之间的最短距离是多少反之，如果光有实体造型而无曲面造型，我们将无法准确地描述和控制物体的外部形状。在历史上，曲面造型和实体造型是互相独立、平行发展的，彼此之间几乎没有影响关于实体造型的理论的发展落后于曲线曲面，虽然近几年已经取得了很大进展并进入实际应用，但仍不及曲线曲面理论那样成熟。

一、曲线曲面造型

曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何设计 (Computer Aided Geometric Design,CAGD)和计算机图形学(Computer Graphics)的一项重要内容，主要研究在计算机图象系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺，由Coons、Bezier等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础。

曲线曲面造型的核心问题是计算机表示，即要找到既适合计算机处理且有效地满足形状表示与几何设计要求，又便于形状信息传递和产品数据交换的形状描述的数学方法。早在1963年，美国波音飞机公司的Ferguson首先提出将曲线曲面表示为参数的矢函数方法，并引入参数三次曲线，并构造了由四角点的位置矢量及两个方向的切矢定义的双三次曲面片，从此曲线曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形式。1964年美国麻省理工学院的Coons发表一种具有一般性的曲面描述方法，称为超限插值，Coons曲面插值给定的四条边界曲线及其跨界导矢信息四条边界曲线可以是任意类型的参数曲线，但这些称为双线性混合的曲面片一般不能实现光滑拼接，为了获得整体上一阶参数连续曲面，必须应用双三次混合的Coons曲面片，且满足扭矢相容性条件，Coons方法在曲线曲面造型中具有重大影响，它在飞机外型设计中取得了很大成功，并且可作进一步推广。1946年Schoenberg提出的样条函数方法，提供了解决连接问题的一种技术，用于形状描述的样条方法是它的参数形式，即参数样条曲面，它用于解决插值问题，特别用于构造整体达到某种参数连续阶的插值曲面是很方便的，但不存在局部形状调整的自由度，并且样条曲面的形状难以预测。1971年法国雷诺汽车公司的Bezier提出一种由控制多边形设计曲线的新方法，这种方法不仅简单易用，而且漂亮地解决了整体形状控制问题，把曲线曲面的设计向前推进了一大步，为曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础。但Bezier方法仍存在连接问题和局部修改问题，而且当特征多边形边数较多时，多边形对曲线的控制减弱。到1972年，de-Boor总结、给出了关于B样条的一套标准算法，1974年Gordon和Riesenfeld又把B样条理论应用于形状描述，最终提出了B样条方法。这种方法继承了Bezier方法的一切优点，克服了Bezier方法存在的缺点，较成功地解决了局部控制问题，又轻而易举地在参数连续性基础上解决了连接问题，从而使自由型曲线曲面形状的描述问题得到较好解决。

 上述各种方法尤其是B样条方法较成功地解决了自由型曲线曲面形状的描述问题.然而将其应用于圆锥截线及初等解析曲面却是不成功的，都只能给出近似表示，不能满足大多数机械产品的要求。但随着生产的发展，B样条方法显示出明显不足棗不能精确表示圆锥截线及初等解析曲面，这就造成了产品几何定义的不唯一，使曲线曲面没有统一的数学描述形式，容易造成生产管理混乱。在参数表示范围里，福利斯特首先给出了表达为有理贝齐尔形式的圆锥截线〔For1968].鲍尔(Ball, 1974, 1975, 1977)在他的CONSURF系统中提出的有理方法在英国飞机公司得到广泛的使用。为了满足工业界进一步的要求，1975年美国Syracuse大学的Versprille首次提出有理B样条方法。后来由于Piegl和Tiller等人的功绩，终于使非均匀有理B样条(NURBS)方法成为现代曲面造型中最为广泛流行的技术。NURBS方法的提出和广泛流行是生产发展的必然结果。

NURBS方法的突出优点是：可以精确地表示二次规则曲线曲面，从而能用统一的数学形式表示规则曲面与自由曲面，而其它非有理方法无法做到这一点；具有可影响曲线曲面形状的权因子，使形状更宜于控制和实现；NURBS方法是非有理B样条方法在四维空间的直接推广，多数非有理B样条曲线曲面的性质及其相应算法也适用于NURBS曲线曲面，便于继承和发展。由于NURBS方法的这些突出优点，国际标准化组织(ISO)于1991年颁布了关于工业产品数据交换的STEP国际标准，将NURBS方法作为定义工业产品几何形状的唯一数学描述方法，从而使NURBS方法成为曲面造型技术发展趋势中最重要的基础。

二、曲面造型的发展

如今经过三十多年的发展，曲面造型现在已形成了以非均匀有理B样条(NURBS)参数化特征设计和隐式代数曲面(Implicit Algebraic Surface)表示这两类方法为主体，以插值(Interpolation)、拟合(Fitting)、逼近(Approximation)这三种手段为骨架的几何理论体系。

 近年来随着计算机图形显示对于真实性、实时性和交互性要求的日益增强，随着图形工业和制造工业迈向一体化、集成化和网络化步伐的日益加快，随着激光测距扫描等三维数据采用技术和硬件设备的日益完善，参数曲线曲面造型取得了迅猛的发展.这主要表现在研究领域的急剧扩展，表示方法不断涌现和研究工具、研究方法的开拓创新〔Wang2001].从研究领域来看，曲面造型技术已从传统的研究曲面表示、曲面求交和曲面拼接，扩充到曲面变形、曲面重建、曲面简化、曲面转换和曲面等距性新的研究方法主要有基于偏微分方程(PDE)的曲面造型方法、基于物理模型的曲面造型方法、基于细分的曲面造型方法。曲线曲面造型中虽然出现了这么多新的造型技术，但是其基础还是以NURBS为代表的曲线曲面造型技术，如:空间变形方法基于参数曲线曲面变形，参数化的好坏直接影响变形的效果;曲面重建的关键技术是插值与逼近，而参数曲面重建方法是最常用的方法:在曲面转换中隐式曲面转换成参数曲面存在参数化的问题，有理Bezier曲线曲面的降阶离不开逼近技术和参数化;等距曲线曲面更是基于重新参数化和逼近技术.参数化和插值与逼近技术是参数曲线曲面造型技术的基础问题。

曲面变形(Deformation or Shape Blending)
    传统的NURBS曲面模型仅允许调整控制顶点或权因子来局部改变曲面形状，至多利用层次细化模型在曲面特定点进行直接操作；一些简单的基于参数曲线的曲面设计方法，如扫掠法(Sweeping)、蒙皮法(Skinning)、旋转法和拉伸法也仅允许调整生成曲线来改变曲面形状。计算机动画业和实体造型业迫切需要发展与曲面表示方式无关的变形方法或形状调配方法，于是产生了自由变形(FFD )法、基于弹性变形或热弹性力学等物理模型的变形法、基于求解约束的变形法、基于几何约束的变形法等曲面变形技术，以及基于多面体对应关系或基于图象形态学中Minkowski和操作的曲面形状调配技术。
    曲面重建(Reconstruction)
    在精致的轿车车身设计或人脸类雕塑曲面的动画制作中，常先用油泥制模，再作三维型值点采样。在医学图象可视化中，也常用CT切片来得到人体脏器表面的三维数据点。从曲面上的部分采样信息来恢复原始曲面的几何模型，称为曲面重建。采样工具为激光测距扫描器、医学成像仪、接触探测数字转换器、雷达或地震勘探仪器等。根据重建曲面的形式，它可分为函数型曲面重建和离散型曲面重建。前者的代表工作有Eck于1996年建立的任意拓扑B样条曲面自动重建法和Sapidis于1995年创造的离散点集拟和法。后者的常用方法是建立离散点集的平面片逼近模型，如Hoppe于1992年和1994年先后创造的分片线性或分片光滑的曲面模型。对于离散型重建，要求输出曲面具有正确的拓扑结构并且随着采样密度的增加而收敛到原始曲面。当重建曲面为闭曲面时，Miller等人发展出一种基于可变形模型的曲面重建方法。1998年Amenta等人又提出了基于计算几何中Voronoi图和Delaunay三角化的全新的曲面重建算法，称为外壳(Crust)算法。这种算法的优点在于输出的离散曲面在细节区域具有密集点，而在无特征的区域具有稀疏点。最近几年，曲面重建的研究形成了热潮，这几年的SIGGRAPH会议上有多篇文章对此进行了专门报告。
    曲面简化(Simplification)
    与曲面重建一样，这一研究领域目前也是国际热点之一。其基本思想在于从三维重建后的离散曲面或造型软件的输出结果(主要是三角网络)中去除冗余信息而又保证模型的准确度，以利于图形显示的实时性、数据存储的经济性和数据传输的快速性。对于多分辨率曲面模型而言，这一技术还有利于建立曲面的层次逼近模型，进行曲面的分层显示、传输和编辑。具体的曲面简化方法有网格顶点剔除法、网格边界删除法、网格优化法、最大平面逼近多边形法以及参数化重新采样法。
    曲面转换(Conversion)
    同一张曲面可以表示为不同的数学形式，这一思想不仅具有理论意义，而且具有工业应用的现实意义。例如，NURBS这种参数有理多项式曲面虽然包括了参数多项式曲面的一切优点，但也存在着微分运算繁琐费时、积分运算无法控制误差的局限性。而在曲面拼接及物性计算中，这两种运算是不可避免的。这就提出了将一张NURBS曲面转化成近似的多项式曲面的问题。同样的要求更体现在NURBS曲面设计系统与多项式曲面设计系统之间的数据传递和无纸化生产的工艺中。再如，在两张参数曲面的求交运算中，如果把其中一张曲面的NURBS形式转化为隐式，就容易得到方程的数值解。近几年来，国际图形界对曲面转换的研究主要集中在以下几方面：NURBS曲面用多项式曲面来逼近的算法及收敛性；Bezier曲线曲面的隐式化及其反问题；CONSURF飞机设计系统的Ball曲线向高维推广的各种形式比较及互化；有理Bezier曲线曲面的降阶逼近算法及误差估计；NURBS曲面在三角域上与矩形域上的互相快速转换。

曲面等距性(Offset)

它在计算机图形及加工中有着广泛的应用，因而成为这几年的热门课题之一。例如，数控机床的刀具路径设计就要研究曲线的等距性。但从数学表达式中容易看出，一般而言，一条平面参数曲线的等距曲线不再是有理曲线，这就超越了通用NURBS系统的使用范围，造成了软件设计的复杂性和数值计算的不稳定性。为解决这一问题，十几年来国际图形界提出了用简单曲线来逼近等距曲线的种种算法，这又带来了收敛性考核、计算不稳定、误差难控制等问题。那么，是否存在具有精确有理等距曲线的某种参数曲线(OR曲线)呢？1990年美国学者Farouki首次找到某一类特殊的平面参数多项式曲线具有这种性质，称之为PH曲线。而到1993年，浙江大学的吕伟利用复分析法、重新参数化和代数几何技术，完整地给出了OR多项式和有理参数曲线的一般形式，彻底解决了平面曲线的等距线的有理化问题。在曲面等距性问题上，吕伟于1996年证明了常用二次曲面的有理等距曲面均可用有理参数样条精确表示的结论；同年他与奥地利学者Pottmann等揭示出有理直纹面的等距面可以有理参数化，同时证明了脊线为有理样条曲线的管道曲面可以精确表示为有理样条曲面。曲线曲面的等距性还与机械学中的形位公差理论及几何设计中的区间曲线曲面有着密切的关系。
    网格细分(Subdivision)

NURBS尽管早已被国际标准化组织作为定义工业产品数据交换的STEP标准，在工业造型和动画制作中得到了广泛的应用，但仍然存在着局限性。单一的NURBS曲面与其他参数曲面一样，仅限于表示在拓扑上等价于一张纸、一张圆柱面或一张圆环面的曲面，不能表示任意拓扑结构的曲面。为了表达特征动画中更复杂的形状，如人的头、手或服饰，我们面临着一场技术挑战。细分方法作为曲线曲面的离散造型方法,其处理过程简单,对数据的计算、生成和显示的速度快,因而得到了广泛的重视, 并在几何造型中得到应用。1978 年,Catmull Clark和Doo2Sabin分别提出将B样条曲面推广到任意拓扑网格的细分算法,标志着细分方法正式成为曲面造型的一种手段。BallA. A. 给出了Catmull Clark细分曲面G1 连续的严格分析。Loop在1987年提出了著名的适用于三角形网格的Loop细分模式,同时分析了这种细分模式的收敛性和连续性。Maillot, J. Stam, J. Warren利用因子分解法( factorization ) 研究了混合网格的细分。J. Stam,J. Warren的细分方法能够在四边形网格和三角形网格上分别产生Catmull Clark细分和Loop 细分,但当初始网格给定后,最终的物体造型也随之确定,不具有可调性。现有的细分方法不具有可调性,即在给定网格和细分算法的情况下,所得曲面是唯一确定的,这对实际应用来说是不方便的。DeRose成功地应用了C-C细分曲面造型法，同时发明了构造光滑的变半径的轮廓线及合成物的实际技术，提出了在服饰模型中碰撞检测新的有效算法，构造了关于细分曲面的光滑因子场方法。在1998年SIGGRAPH会议的报告中，有十篇有关曲面造型的论文，除了有一篇是介绍几何体的变形方法以外，其余九篇均是关于曲面离散造型的算法或者在离散型曲面上精确求值及进行参数化的工作。特别是，有三篇论文都与Catmull和Clark在1978年所创立的用网格细分产生离散曲面的方法(以下简称C-C法)紧密相关。从这里我们可以看出当今国际图形界在曲面造型理论研究和实际应用中的热点所在。

 

基于物理模型的曲面造型

现有的CAD/CAM系统中的曲面造型方法建立在传统的CAGD 纯数学理论的基础之上，借借助控制顶点和控制曲线来定义曲面，具有调整曲面局部形状的功能。但这种灵活性也给形状设计带来许多不便：

1）典型的设计要求既是定量的又是定性的， 如“逼近一组散乱点且插值于一条截面线的整体光顺又美光的曲面”。 这种要求对曲面的整体和局部都具有约束，现有曲面生成方式难以满足这种要求。 2）设计者在修改曲面时，往往要求面向形状的修改。通过间接的调整顶点、权因子和节点矢量进行形状修改既繁琐、耗时又不直观，难以既定性又定量地修改曲面的形状。局部调整控制顶点难以保持曲面的整体特性，如凸性或光顺性。

基于物理模型的曲面造型方法为克服这些不足提供了一种手段。用基于物理模型的方法对变形曲面进行仿真或构造光顺曲面是CAGD和计算机图形学中一个重要研究领域。

1987年加拿大学者 Terzoulos等率先将基于能量的弹性可变形自由曲面造型技术引用到计算机图形学领域，受到了国际上众多学者的重视。Willians 以虚拟弹性薄板总能量作为能量泛函用有限插分法构造光顺曲面。Celniker 和Gossard 提出了基于有限元分析的自由曲面设计系统。Moreton 和Seqin提出了设计光顺曲面的函数优化方法。他们首先建立使用曲面插值给定点、法矢和曲率的几何约束方程，然后再利用非线性优化技术使反映曲面形状的光顺函数最小。使用这种技术，可以较好地将形状约束和几何约束结合在一起，克服传统上的不足。该方法可以产生高质量的曲面，但其计算耗费较大。Welch 和Witkin提出了变分曲面设计方法。这种方法也是从设计的角度出发，将整张曲面看作是一张有弹性的曲面，可以用曲面上任意一些点或曲线控制其形状，或者要求曲面在一些关键点插值于给定的法矢或高斯曲率。同时，要求曲面满足设计者的定性要求，如形状光顺而美光等。根据这些要求建立优化的约束方程，然后用数值方法求解得到所要求的曲面。所采用的能量泛函与Celniker和Gossard的工作类似，但在曲面表达上作了改变：采用了Forsey和Bartels的分层B样条曲面表达形式以提高局部控制能力，但使用起来仍不方便。

1994年，Terzopoulos等在NURBS曲面的定义中增加了一个时间变量，又提出了基于能量模型的动态NURBS（D_NURBS）曲面。Terzopoulos的基本思想是根据Lagrange 动力方程建立一个偏微分方程，按照曲面的变形要求施加一个外力，以给定偏微分方程的边界条件建立曲面的几何边界约束，通过方程中表示形状变化的能量函数的内部参数来反映曲面的物理属性，最后由数值计算方法得到这张曲面离散或精确形式的解。

这些方法具有如下特点：

① 曲面形状的改变服从物理准则，通过计算仿真可以动态地显示模型在某个外力作用下的变形；

② 在给定的约束条件下，这种动态模型的平衡状态具有势能最小的特点，可以建立满足局部或整体设计要求的势能函数和规定与形状设计有关的几何约束；

③ 能量模型建立在传统的标准纯几何模型的基础上。这意味着尽管交互或自动的形状设计可以在基于能量模型的物理层进行，但在几何层上仍然可以调用现在的几何操作库。

基于物理模型的曲面造型方法在具体实施上有以下三种不同的方式：

力学原理的选择：在不考虑时间因素时，可用梁或板的平衡方程或相应能量泛函的变分原理来建立曲线、曲面的控制方程。当考虑时间因素时，则用Langrange 方程建立运动方程作为曲线、曲面的控制方程。

能量泛函的选择：i）由曲线、曲面的第一和第二基本形式构造；ii）由曲面主曲率平方和或主曲率变化率的平方和的积分构造；iii）由曲面的一阶和二阶偏导数的加权平方和构造。前两种方法完全从几何概念出发，他们是曲面物理坐标的非线性函数，计算耗费较大。

曲线、曲面的表达方式：可采用各种不同的曲面表达形式。因NURBS曲面符合STEP标准， 是各种CAD/CAM系统广泛采用的曲线、曲面的几何表达形式，故具有重要的意义。但由于权因子的存在，其控制方程是非线性的，降低了计算效率。对权因子取值范围的约束也存在一定的问题。尽管Terzopoulos提出并研究了NURBS表达式的变形曲面，但在实际应用中，一般仍取权因子为1，即从NURBS简化为非有理B样条。

基于物理模型的变形曲线、曲面造型研究已经取得了巨大的成就，但还有许多问题需要解决，其中包括：计算效率问题，采用有限元方法限制了交互速度的提高；交互控制问题，如何交互地选择物理参数仍有待研究；能量泛函的选择，如何在提高计算效率和保证曲面质量之间的平衡。

 

基于偏微分方程（PDE）的曲面造型

PDE 曲面使用一组椭圆偏微分方程产生曲面， 由Leeds 大学的Bloor等人于80 年代末将之引入CAGD领域。其思想起源于将过渡面的构造问题看作一偏微分方程的边值问题， 而后发现使用该方法可以方便地构造大量实际问题中的曲面形体。 他们探索了PDE方法在构造过渡面、自由曲面及N边域中的应用。 同时也探索了这种方法在功能曲面设计中的应用。船体、飞机外形、螺旋浆叶片等外形都可由PDE方法构造。

PDE曲面的形状由边界条件和所选择的片微分方程确定。该方法具有以下特点：

① 构造过渡面简单易行， 只需给出过渡线并计算过渡线处的跨界导矢；

② 所得曲面自然光顺。曲面由曲面参数的超越函数，而不是简单的多项式；

③ 确定一张曲面只需少量的参数， 并且对设计者的数学背景要求较少：用户只需给出边界曲线和跨界导矢即可产生一张光顺的曲面。因此，用户的输入工作量较小；

④ 可通过修改边界曲线和跨界导矢即方程中的一个物理参数来调整曲面形状；

⑤ 便于功能曲面的设计。 功能曲面设计最终归结为一些泛函的极值问题，这些泛函的自变量是形状参数，形状参数的多少直接关系到求泛函极值问题时计算量的大小。PDE 曲面形状完全由边界条件确定，所需形状参量较少，从而可以降低计算耗费。

PDE方法是一种新型的曲面造型技术， 该方法仅是一种曲面设计技术，而不是一种曲面的表达方式。

流曲线曲面造型

在CAD领域，许多曲线曲面的设计涉及到运动物体的外型设计，如汽车、飞机、船舶等。这些物体在空气、水流等流体中相对运动。由于流体对运动物体产生阻力，运动物体的外型设计将变得十分重要。运动物体外型的光滑与否将直接影响其运动性能。人们常常希望所设计的运动物体的外型具有“流线型”，因为具有“流线型”外型的运动物体不仅外观漂亮宜人，而且能极大地减少前进过程中流体对物体的阻力。

针对这些运动物体的外型设计，一种以流体力学为背景的流曲线曲面的造型方法被提出。由流体力学理论可知，流曲线曲面上任一点的切线与该点的水流或气流的流动矢量方向吻合，因此，用流曲线曲面设计的外型具有良好的物理性能，同时外型也十分美观。该方法的思想以流体力学中的平面定常理想不可压缩无旋动为力学背景，将流体力学中流函数的概念引人到CAD中，从而建立流曲线曲面的数学模型。

该方法的研究刚刚起步，造型方法的理论和流函数的建立尚不完善，故目前也处于探索阶段，其基本理论、数学模型和一些相关算法还有待进一步研究。

另外，其他方法还有：散乱点的曲线曲面的造型方法、小波曲线曲面的造型方法等。

三、实体造型

实体在计算机中常用线框、表面和实体三种表示模型。线框模型是最早用来表示形体的模型，至今仍广泛应用；表面模型是在线框模型的基础上，增加了有关生成三维物体各表面的数据信息，包括表面的环、表面特征、棱边链接方向等；实体模型是在表面模型的基础上，明确定义了在表面的哪一侧存在物体，完整地定义了立体图形，能区分内外部，能提供清晰剖面图等，是三种模型中最为重要的一种。

实体造型技术是基于计算机辅助设计与制造的需要而发展起来的。早在20世纪50年代，美国麻省理工学院研制成功第一台数控加工机床后，人们就研制APT零件编程语言，以描述被加工零件的外形，自动生成数控加工程序.60年代以来，随着计算机图形学的发展，出现了各种绘图软件包，用计算机绘制各种工程图纸，以减轻产品设计中手工绘图的繁重负担。这些早期的绘图软件大都采用线框式图形数据结构，即只存储所画图形的顶点以及各顶点间的连接关系。它特别适合于对图形进行各种几何变换和交互显示，例如平移某一图形时，只需将这一图形上各顶点的坐标作相应平移即可按线框结构中各顶点间原有的连接关系生成新的图形。然而随着CAD技术的发展，当需要在计算机内完整地定义三维物体时，这种线框数据结构很快暴露出它的弱点首先，由于该数据结构包含的信息有限，无法实现图形的自动消隐.其次，同一数据结构可能对应多个物体，产生不定性.第三，这种数据结构无法处理曲面物体的侧影轮廓线.曲面物体的侧影轮廓线与视线方向有关，它不应包含在物体的数据结构中.然而它却是构成一幅完整图形不可缺少的一部分.第四，在生成复杂物体的图形时，采用线框式的数据结构要求输入大量的初等效据.数据愈多，不仅会加重用户的负担，更重要的是很难保证这些数据的有效性和统一性，甚至可能导致“莫须有”的物体.因此，70年代以来，人们开始致力于研究和发展实体造型技术. 实体造型最初考虑如何将一些形状较简单、规则的物体如立方体、圆锥等体经并、差、交等集合运算组成较为复杂的物体.这类研究开始于60年代末期.从1973年起，相继出现了英国剑桥大学CAD小组中的工.C. Braid的BLI LD系统，美国罗彻斯特大学H. B. Voelcker等人主持研究的PADL-1系统，日本北海道大学Ok i no主持研究的T工PS几系统，其基本体素是半空间.不久，西德、法国、瑞士等国也发展了类似功能的实体造型系统.所有这些系统存在一个很重要的共同特点:他们都在计算机内提供了对物体的完整的几何定义，因而可以随时提取所需要的信息，支持CAD/CAM过程的任何一个方面，如计算机绘图、应力分析、热流计算，数控加工等等.实体造型系统的另一个重要特点是允许设计人员直接在三维空间进行产品的设计、修改、观察，从而使设计活动变得直观、简单、高效. 如今经过二十多年的研究探索，实体造型的理沦方法己经成熟，以实体造型为核心的商品化CAD软件被工业界广泛应用.日前国际上著名的商品化CAD系统，如Pro-E, UG, CATIA, I-DEAS, Solidworks等都是以实体造型为核心