图基本算法之图的存储

图是一种很常用的数据结构，其算法的难度相比其他数据结构，难度更大一些，本编文章，将对图的一些基本概念和存储做一些讲解。

图是由顶点集（V）和边集（E）组成，记为 G = (V,E) ; 其中，顶点集不能为空，边集可以为空。图分为以下两种：

1. 有向图

若 E 是有向边（弧）的有限集合时，则图 G  为有向图。其中，弧是顶点的有序对。

2. 无向图

若 E 是无向边（边）的有限集合时，则图 G 为无向图。其中，边是顶点的无序对。

通过以上，明确了图的基本定义，下面讨论图中一些重要的概念：

1.图中顶点的度，入度和出度

顶点的度的定义：以该定点为一个端点的边的数目

对于无向图，定点 V 的度是指依附于该定点的边的条数，记为 TD(V)。在具有 n 个定点 e 条边的无向图中，有 ∑TD(v) = 2e, 即无向图的全部定点的度之和等于边数的两倍。

对于有向图，定点 v 的度分为入度和出度。其中，有向图的全部定点的入度之和与出度之和相等，且等于边数。

其他一些概念在此不做详述。以下主要就图的存储方式给以说明：

图的存储必须要完整，准确的反应顶点集和边集的信息，根据不同图的结构和算法，可以采用不同的存储方式，而且不同的存储方式将对算法的效率产生相当大的影响。无论是有向图还是无向图，主要的存储方式有两种：邻接矩阵（顺序存储）和邻接表（链接存储）。

1. 邻接矩阵

所谓的邻接矩阵，就是用一个一维数组存储图中定点的信息，用一个二维数组存储图中边的信息（各定点的邻接关系），存储定点之间邻接关系的二维数组称为邻接矩阵。邻接矩阵式一个 n*n 的方阵（n 表示点的数目）。

对于无权图而言，其二维数组中的定义为：

• A[i][j] =  1      若 ( v[i], v[j] )是 E (G) 中的边
• A[i][j] =  0      若 ( v[i], v[j] )不是E(G) 中的边

注意，其对于无向图而言，是一个对称的矩阵。

用邻接矩阵存储时，很容易获得任意两个顶点时间是否右边相连接，但是，要确定图中有多少边，需按行，列对每个元素进行遍历，花费代价较大。

2. 临接表法

当一个图是稀疏图时，使用邻接矩阵会浪费较大的空间，而临界表结合了顺序存储和链式存储，大大减少了不必要的空间浪费。

邻接表就是对图的每个顶点建立一个单链表，第 i 个单链表中的节点表示依附于顶点 V(i) 的边，每个元素都是由顶点域和指针构成，下面给出其定义：

struct node{    node():next(nullptr){}    int val;    struct node *next;};

下面给出由邻接矩阵向邻接表转换的代码片段：

void buildLink(const int (*v)[5], node link[]){    for( int i = 0; i < sz; ++i )    {        link[i].val = i;    }    for( int i = 0; i < sz; ++i )    {        node *t = &link[i];        for( int j = 0; j < sz; ++j )        {            if( v[i][j] != 0 )            {                node *s = new node();                s->val = j;                t->next = s;                t = s;            }        }    }}

通过以上代码可以完成对邻接矩阵存储的图到邻接表存储的转换。

对图的存储还有：十字链表以及邻接多重表的方法，这两个存储方式使用较少，在这里不做描述。