遗传算法与直接搜索工具箱学习笔记 三-----目标函数的约束

      在上一次的笔记中，我们编写了一个目标函数，大家可以看到这个目标函数的定义域（你不会不知道定义域吧,就是自变量的取值范围）没有任何的限制，在实际问题中，对自变量往往有很多的限制，比如，大于多少，小于多少等等，套用正规的江湖术语，称这些限制为“约束”。这一部分，就重点说一下“约束”的问题。约束被分成下面的4种类型：

1.边界约束。对自变量最大值与最小值的限制：X>=l 并且X<=u

2.线性不等式约束。Ax<=b,其中A为mXn的矩阵，x为nX1的矩阵，b为3X1的矩阵。描述了n个变量受到的m种不等式的限制。

3.线性等式约束。基本同2.

4.非线性约束。

还是具体看下面的例子吧，例子比较生动而且容易理解，呵呵。

一、边界约束

    边界约束主要就是包含对一个变量上界与下界的限制，在优化函数中，你如果知道它的边界，将这些边界的约束包含在问题的描述中，那么你将会又快又精确的得到你需要的结果。

针对于一个矢量x，边界约束必须与矢量x的维数相同。比如，x=[x1,x2,x3,x4]，其中X1等为标量，那么边界约束的长度也必须是4，比如下界的约束为L=[1，2，3，4]，上界为U=[5，6，7，8]，那么等同于下面的式子：

1<=x1<=5

2<=x2<=6

3<=x3<=7

4<=x4<=8

如果约束是

• x₃ ≥ 8

• x₂ ≤ 3

 那么该如何表示呢？在Matlab中使用Inf代表正无穷，相应的-Inf表示负无穷。上下界的表示可以写为：L=[-Inf,-Inf,8,-Inf],上界U=[Inf,3,Inf,Inf].

二、线性不等式的约束

有下面的不等式

x₁ + x₃ ≤ 4,
2x₂ – x₃ ≥ –2,
x₁ – x₂ + x₃ – x₄ ≥ 9.

这里有4个标量组成的一个矢量x，写成Ax<=b形式的话，A就是一个3X4的矩阵，b为3X1的矩阵

A=[1  0  1  0;         b=[4;

      0 -2  1  0;              2;

     -1  1 -1  1 ]            -9]

x=[x1,x2,x3,x4]

 

Ax<=b

注意红色字体的数字与原来式子中的数字符号相反。

三、线性等式约束

基本同上面的线性不等式约束，唯一不同的是把A变成了Aeq，b变成了beq。在这里就不赘述了。

四、非线性约束

     非线性不等式约束的形式如c(x)<=0,非线性等式约束的形式如ceq(x)=0;对于非线性约束的表示一般使用函数的方式，就像c(x)<=0与ceq(x)=0那样。

     下面的一点比较重要，非线性约束的函数必须返回两个组成部分，一个是不等式约束，另一个是等式约束，尽管它们可能不是同时能够存在，如果其中的一个不存在，那么就返回[ ]。

假设有下列的不等式约束

把这个约束写成函数的M文件形式如下：

     function [c,ceq]=ellipseparabola(x)
         % Inside the ellipse bounded by (-3<x<3),(-2<y<2)
         % Above the line y=x^2-1
          c(1) = (x(1)^2)/9 + (x(2)^2)/4 - 1;%不等式约束1
          c(2) = x(1)^2 - x(2) - 1;%不等式约束2
          ceq = [];%等式约束,为空
    end

ellipseparabola 返回了一个[ ]作为非线性等式约束的结果。同时两个不等式约束都是 ≤ 0的形式。

如果你提供了c与ceq的梯度信息，也许算法会运行的更快，给你更多可信的结果。下面就是包含了梯度信息的约束函数的写法例子。

function [c,ceq,gradc,gradceq]=ellipseparabola(x)
    % Inside the ellipse bounded by (-3<x<3),(-2<y<2)
    % Above the line y=x^2-1
    c(1) = x(1)^2/9 + x(2)^2/4 - 1;
    c(2) = x(1)^2 - x(2) - 1;
    ceq = [];

    if nargout > 2
        gradc = [2*x(1)/9, 2*x(1);…
                         x(2)/2, -1];
        gradceq = [];
end

 

 

 

 

附注：本文为转载文章
原文出处：http://blog.csdn.net/niuyongjie/article/details/4863979
原作者：niuyongjie