对于空间的理解

向量空间(线性空间)

先放个链接[如何理解空间]，这个链接对于如何理解向量空间有清晰的表达。道出其本质是规则的集合。这和数学上关于向量空间的定义是一样的。我们在学线性代数的时候，向量空间在数学上的“对应概念”就是集合。不同的集合，条件不一样，也就是规则不一样。那么对于空间的理解，就要看它定义了什么条件，它体现者什么规则。

对于向量空间，需要理解如下概念：

1. 向量空间
   1.1 向量空间的概念
   1.2 向量空间对加法和数乘两种运算封闭
   1.3 由向量组生成的向量空间
2. 子空间的概念
3. 向量空间的基和维数

具体概念课参考[向量空间]

设V为n维向量空间的集合，如果集合V非空且对于加法和数乘两种运算封闭，那么就称集合V是向量空间。

欧几里得空间(集合空间)

具体概念参考[欧式空间]

设V是实数域上的线性空间，在V中定义了一个二元实函数，称为内积，记作(α,β),它具有下列性质：
1) (α,β) = (β,α)
2) (kα,β) = k(α,β),k∈R
3) (α+β,γ) = (α,γ)+(β,γ), γ∈V
4) (α,α)≥0,当且仅当, α=0时，(α,α)=0
其中，α,β,γ是V中任意向量，k是任意实数。这样的线性空间V称为欧几里得空间，简称为欧式空间。

直观的从定义上来来看，欧式空间和线性空间的区别就是前者引入了内积的概念。但是由于这个概念的引入，欧式空间可以引入两种操作。这使得它有别于线性空间。

在定义了内积的基础上，引入长度的概念：非负实数(α,α)−−−−−√称为向量α的长度，记作|α|

在内积的基础上，和长度的基础上，引入夹角的概念：非零向量α,β的夹角<α,β>=arccos(α,β)|α||β|

所以，简单来说。欧式空间就是在向量空间的基础上引入了“长度”和“角度”的度量。从而可进一步引入正交的概念。欧式空间是一个内积空间。

希尔伯特空间

简单说一下百度百科的概念：

在数学中，希尔伯特空间是欧几里德空间的一个推广，其不再局限于有限维的情形。与欧几里德空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引申而来的正交性与垂直性的概念）。此外，希尔伯特空间还是一个完备的空间，其上所有的柯西序列等价于收敛序列，从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。希尔伯特空间是公式化数学和量子力学的关键性概念之一。

希尔伯特空间是一个内积空间，欧式空间也是一个内积空间。但是欧式空间并不是完备的。