【BZOJ3529】数表，莫比乌斯反演+BIT

传送门
思路：
复习一下莫比乌斯反演
好像是数论入门题，然后我做了近一天……
式子是这么化没错
n≤m

∑i=1n∑j=1m[σ(gcd(i,j))≤a]σ(gcd(i,j))

=∑i=1n∑j=1m∑d=1n[gcd(i,j)=d][σ(d)≤a]σ(d)

i=di,j=dj

=∑d=1n[σ(d)≤a]σ(d)∑i=1⌊nd⌋∑j=1⌊md⌋[gcd(i,j)=1]

=∑d=1n[σ(d)≤a]σ(d)∑k=1⌊nd⌋μ(k)⌊nkd⌋⌊mkd⌋

一开始我化到这里就停下开始求解了
写了一发离线+BIT交上去发现比暴力多跑了一个点(?)
分析了一下复杂度好像是O(Tn)
被reflash婊了一通
悲伤过后重新来搞，在reflash的提(jiao)示(yu)下化成了下面这样
P=kd

=∑d=1n[σ(d)≤a]σ(d)∑P=1n[d|P]μ(Pd)⌊nP⌋⌊mP⌋

=∑P=1n⌊nP⌋⌊mP⌋∑d=1P[d|P][σ(d)≤a]σ(d)μ(Pd)

设F(n)=∑ni=1[i|n][σ(i)≤a]σ(i)μ(ni)

=∑P=1n⌊nP⌋⌊mP⌋F(P)

用BIT维护F的前缀和，然后处理每个询问的时候O(n√)前缀和搞就可以了
一开始把所有的σ(i)μ(ni)保存下来，大约有106个，按照σ(i)排序
在BZ上跑了10s……rank倒数第5
又被reflash婊了一通
悲伤过后重新来搞，在reflash的提(jiao)示(yu)下开始现求μ里的东西（就是枚举d的倍数……）
然后跑了7s……
其实还可以线筛σ，因为这是个积性函数（要记录最小质因子的若干次方）
改完以后终于跑到了4s左右……
不过还是很慢
复杂度O(nlog2n+Tn√logn)
写一下这篇博客，记住自己菜到家的数论知识，顺便%%%reflash

#include<cstdio>#include<iostream>#include<algorithm>#define LL long long#define mo 2147483647#define N 100000using namespace std;int cnt,prime[N+5],mu[N+5],t[N+5];LL d[N+5],ans[N+5];typedef pair<int,int>xy;xy sigma[N+5];bool vis[N+5];struct node{    int id,n,m,A;    bool operator <(const node other)const    {        return A<other.A;    }}q[20005];void add(int x,int val){    for (;x<=N;x+=x&-x) d[x]+=val;}LL get(int x){    LL t=0;    for (;x;x-=x&-x) t+=d[x];    return t;}main(){    mu[1]=1;    sigma[1]=make_pair(1,1);    t[1]=1;    for (int i=2;i<=N;++i)    {        if (!vis[i])            prime[++prime[0]]=i,            t[i]=i,            sigma[i]=make_pair(i+1,i),            mu[i]=-1;        for (int j=1;j<=prime[0];++j)        {            if (prime[j]*i>N) break;            vis[prime[j]*i]=1;            if (i%prime[j])                t[i*prime[j]]=prime[j],                sigma[i*prime[j]]=make_pair(sigma[prime[j]].first*sigma[i].first,i*prime[j]),                mu[i*prime[j]]=-mu[i];            else            {                t[i*prime[j]]=t[i]*prime[j];                sigma[i*prime[j]]=make_pair(sigma[i].first+sigma[i/t[i]].first*t[i]*prime[j],i*prime[j]);                mu[i*prime[j]]=0;                break;            }        }    }    sort(sigma+1,sigma+N+1);    int T;    scanf("%d",&T);    for (int i=1;i<=T;++i)    {        scanf("%d%d%d",&q[i].n,&q[i].m,&q[i].A);        if (q[i].n>q[i].m) swap(q[i].n,q[i].m);        q[i].id=i;    }    sort(q+1,q+T+1);    int n,m,last=1;    for (int i=1;i<=T;++i)    {        n=q[i].n;m=q[i].m;        for (;last<=N;++last)            if (sigma[last].first<=q[i].A)            {                int fi=sigma[last].first,se=sigma[last].second;                for (int j=1;se*j<=N;++j)                    add(j*se,fi*mu[j]);            }            else                break;        for (int last,j=1;j<=n;j=last+1)            last=min(n/(n/j),m/(m/j)),            ans[q[i].id]+=1LL*(n/j)*(m/j)*(get(last)-get(j-1));    }    for (int i=1;i<=T;++i) printf("%d\n",ans[i]&mo); }