球与盒子模型全解

把n个球放m个盒子里的模型分为

（1）n个不同的球，放入m个无区别的盒子，不允许盒子为空。

方案数：

  

。这个跟第二类Stirling数的定义一致。

（2）n个不同的球，放入m个有区别的盒子，不允许盒子为空。

方案数：

  

。因盒子有区别，乘上盒子的排列即可。

（3）n个不同的球，放入m个无区别的盒子，允许盒子为空。

方案数：

 S[n,1]+S[n,2]+„+S[n,m]  

。枚举非空盒的数目便可。

（4）n个不同的球，放入m个有区别的盒子，允许盒子为空。

①方案数：

  

。同样可以枚举非空盒的数目，注意到盒子有区别，乘上一个排列系数。

②既然允许盒子为空，且盒子间有区别，那么对于每个球有m中选择，每个球相互独立。有方案数：

  

。

上述式子可以应用于第二类Stirling数通项的求解。

通项公式：

这个通项公式有多种方法推导。常用的有容斥原理，母函数和等式求解等。

(5)n个相同的球放入m个有区别的盒子,不允许盒子为空.

         该类问题可构造插板模型将问题转化.答案为C(m-1,n-1)

(6)n个相同的球放入m个有区别的盒子,允许盒子为空.

该类问题可采用"借球方式"先借来m个球,再构造插板模型将问题转化,答案为C(m-1,n+m-1)

(7)n个相同的球放入m个无区别的盒子,不允许盒子为空.

      该类型问题采用枚举法.

(8)n个相同的球放入m个无区别的盒子,允许盒子为空.

      该类问题也采用枚举法.