算法篇-13-随机化-线性同余&主元素问题&N皇后问题&素数测试

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四中随机化算法

数值随机化算法：

1..这类算法所得到的往往是近似解。

2.近似解的精度随着计算时间的增加而不断提高。

 

蒙特卡罗算法：

1.求问题的准确解，但得到的解不一定正确。

2.计算时间越长，解的正确性越高。

 

拉斯维加斯算法：

1.求正确解，但可能得不到任何解。

2.计算时间越长，得到正确解几率越高。

 

舍伍德算法：

1.总可求的一解，且所求解一定正确。

2.非避免算法最坏，而是消除最坏与特定实例之间的关联。

线性同余产生伪随机数

算法思路分析以及相关数学公式：

X(n+1) = (a * X(n) + c) % m这样的公式，其中：

 模m, m > 0

系数a, 0 < a < m

增量c, 0 <= c < m

原始值(种子) 0 <= X(0) < m

其中参数c, m, a比较敏感，或者说直接影响了伪随机数产生的质量。

由上述公式得出x（n+1)后右移16位即得到一个0-65535之间的随机数。

（高16位随机性较低16位好）

#include <iostream>#include <time.h> //线性同余产生伪随机数 using namespace std;class CRandom{private:unsigned long rand_seed; //随机数种子public:CRandom(unsigned long s = 0){if(!s) rand_seed = time(0);else rand_seed = s; }unsigned long Random(unsigned long n) {//0-n-1之间的随机数 const unsigned long multiplier = 1194211693L;const unsigned long adder = 15465L;rand_seed = multiplier*rand_seed + adder;return (rand_seed>>16) % n;} double fRandom(void) {//产生0-1之间的随机实数 const unsigned long large_number =  0x10000;return Random(large_number) / double(large_number);}};int main(){CRandom rnd;int i,n=100000;int m[10];for(i=0;i<10;++i) m[i]=0;//查看生成随机数的分布 for(i=0;i<n;i++) m[rnd.Random(1000)/100]++;for(i=0;i<10;++i) cout<<m[i]/(double)n<<endl;cin.get();return 0;}

主元素问题

题目：

设T[1:n]是一个含有n个元素的数组（集合）。当 | {i | T[i]=x} | > n/2 时，称元素x是数组T的主元素。判断一数组是否含有主元素。

 

算法思路分析以及相关公式：

蒙特卡洛算法，随机从数组中取一个数来测试其是否是该数组的主元素。

一次随机测试很可能出错，在这里我们采用多次取样判断来减小误差。

 

若数组含有主元素，则返回true的概率是p (p>1/2)。2次调用返回true的概率是

P+(1-P)*P, = (1-P)^2 > 3/4，如果需要更高准确度则重复更多次数。

#include <time.h> #include <stdlib.h>#include <math.h>#include <iostream>//主元素问题-- 蒙特卡洛算法using namespace std;template <class T_>bool Majority(const T_ *t,int n){srand(time(0));//取消后正确几率下降int i = rand()%n;T_ x = t[i];int k =0;for(int j=0;j<n;++j) {if(t[j]==x) k++;}return (k>n/2);}template <class T_>bool MajorityMC(const T_*t,int n,double e){//e允许的最大错误几率 int k =ceil(-log(e)/log(2.0));for(int i=1;i<=k;++i) {if(Majority(t,n)) return true;}return false;}int main(){srand(time(0));int i,n  = 10000;int *a = new int[n];for(i=0;i<n;++i) a[i] = i+1;int counter = 0 ;while (counter<n/2+1) {i = rand()%n;if(a[i]!=0) {a[i]=0;++counter;} }  for(i = 0;i<40;++i) { if(MajorityMC(a,n,0.1))  cout<<true<<endl; else cout<<false<<endl;    }    cin.get();delete []a;return 0;}

N皇后问题

N皇后问题，Las Vegas 算法。

算法分析与相关公式：

 对于n后问题的任何一个解而言，每一个皇后在棋盘上的位置无任何规律，不具有系统性，而更象是随机放置的。在棋盘上相继的各行中随机地放置皇后，并注意使新放置的皇后与已放置的皇后互不攻击，直至n个皇后均已相容地放置好，或已没有下一个皇后的可放置位置时为止。

#include <time.h> #include <stdlib.h>#include <math.h>#include <iostream>//nqueue - Las Vegas using namespace std;class NQueue_Las_Vegas{private:int *y;  //当前行上皇后可放置的位置bool Place(int k){  //验证第k行皇后位置是否合理  for(int i=1; i<k; ++i) {  if((k-i)==abs(x[i]-x[k]) || x[i]==x[k])  return false;  }  return true;  } bool Backtrack(int t){//回溯法if(t>n) return true;else {for(int i=1;i<=n;++i){x[t] = i;if(Place(t) && Backtrack(t+1))return true;}}return false;}bool QueuesLV(int m){//随机放置m个皇后的Las Vegas算法int k = 1;int count = 1;while(k<=m && count>0) {count=0;for(int i=1;i<=n;++i) {x[k]=i;if(Place(k)) y[count++] = i;}if(count>0) x[k++] = y[rand()%count];}return count>0;}public:int n;int *x;void Solve(int num_loops){y = new int[n+1];int m = 5;if(n>15) m = n-15;bool found = false;for(int i=1;i<num_loops;++i) {if(QueuesLV(m)) {if(Backtrack(m+1)) {found = true;break;}}}if(found) {for(int i=1;i<=n;++i) cout<<x[i]<<' ';cout<<endl;} else {cout<<"No Answer"<<endl;}delete [] y;}};int main(){NQueue_Las_Vegas nq;nq.n = 8;nq.x = new int[nq.n+1];for(int i=0;i<20;++i)nq.Solve(10) ;cin.get();delete [] nq.x;return 0;}

素数测试

 --蒙特卡洛算法  

算法思路分析以及相关公式：

 Wilson定理：对于给定的正整数n，判定n是一个素数的充要条件是(n-1)! -1(mod n)。

 费尔马小定理：如果p是一个素数，且0<a<p，则a^(p-1)(mod p)。 

 二次探测定理：如果p是一个素数，且0<x<p，则方程x^21(mod p)的解为x=1，p-1。

 Carmichael数：费尔马小定理是素数判定的一个必要条件。满足费尔马小定理条件的整数n未必全是素数。有些合数也满足费尔马小定理的条件，这些合数称为Carmichael数。前3个Carmichael数是561,1105，1729。Carmichael数是非常少的，在1~100000000的整数中，只有255个Carmichael数。

 

#include <time.h> #include <stdlib.h>#include <math.h>#include <iostream>//素数测试 --蒙特卡洛算法  using namespace std;void PowerAndPrimeTest(unsigned int a,unsigned int p,unsigned int n,unsigned int &result,bool &composite){//计算power(a,p) mod n ,同时实施对n的二次探测 //result计算结果composite是否为合数 unsigned int x;if(p==0) result = 1;else {PowerAndPrimeTest(a,p/2,n,x,composite);result = (x*x)%n;if(result==1 && x!=1 && x!=n-1)composite = true; //计算结果 if(p%2==1) //p是奇数 result = (result*a)%n;}}bool PrimeTestMC(unsigned int n,unsigned int k)  {//检测n是否为素数//重复调用k次蒙特卡洛算法  unsigned int a,result;bool composite  = false;if(n<5) {if(n==2 || n == 3) return true;return false;} for(int i=1;i<=k;++i) {//下面这句决定5以下素数测试有问题 a = rand()%(n-3)+2 ;PowerAndPrimeTest(a,n-1,n,result,composite);if(composite || (result!=1)) return false;}return true;}bool PrimeTest(unsigned int n)   {if(n==1) return false;else if(n==2) return true;unsigned int i,m = sqrt(n);for(i=2;i<=m;++i) if(n%i==0) return false;return true;}int main(){unsigned int n = 1194211693L;for(int i=2000;i<5000;++i) if(PrimeTest(i)) {cout<<i<<endl;n=i;break;}for(int i=0;i<20;++i) {if(PrimeTestMC(n,4)) cout<<true<<endl;else cout<<false<<endl;}cin.get();return 0;}