Tarjan_lca

首先，以一道题引入：(出自洛谷P3379)

【题目描述】
给定一棵有根多叉树，请求出指定两个点直接最近的公共祖先。

【输入输出格式】
输入格式：
第一行包含三个正整数N、M、S，分别表示树的结点个数、询问的个数和树根结点的序号。
接下来N-1行每行包含两个正整数x、y，表示x结点和y结点只见有一条直接连接的边（数据保证可以构成树）。
接下来M行每行包含两个正整数a、b，表示询问a结点和b结点的最近公共祖先。

输出格式：
输出包含M行，每行包含一个正整数，依次为每一个询问的结果。

【输入输出样例】
输入样例1：

5 5 43 12 45 11 42 43 23 51 24 5

输出样例1：

44144

【说明】
时空限制1000ms,128M

数据规模:

• 对于30%的数据：N<=10，M<=10
• 对于70%的数据：N<=10000，M<=10000
• 对于100%的数据：N<=500000，M<=500000

样例说明：
该树结构如下：

第一次询问：2、4的最近公共祖先，故为4。
第二次询问：3、2的最近公共祖先，故为4。
第三次询问：3、5的最近公共祖先，故为1。
第四次询问：1、2的最近公共祖先，故为4。
第五次询问：4、5的最近公共祖先，故为4。
故输出依次为4、4、1、4、4。

题目明明白白，求lca，大家很容易想到倍增lca，时间复杂度为O(nlogn+mlogn)，这样不会超时，但如果题目复杂一点，运用次数多很容易会爆。那么我要用一种O(n+m)的方法去求lca。
对于以U为根的子树，树内任意一点V,lca(U,V)=U，很显然。
U有不同的子节点u1,u2，以u1为根的子树中有一节点v1，以u2为根的子树中有一节点v2，则lca(v1,v2)=U。
那么我们就可以如下解决：
我们利用并查集的思想。
将询问弄成一个前向星。
对于一个节点，在处理完它的所有子节点后，枚举它的询问，如果它的对象被查找过，则它们的lca为它的对象的并查集中的祖先。

解释：对于一棵子树，它的根节点U,U的询问对象为V，V被查找过，那么有两种可能：
1. U在以V为根的子树中，则并查集中Father(V)=V
2. U与V没有祖先后代关系，则有lca(U,V)=Father(V)，因为在搜lca(U,V)的子节点时，先搜了V再搜U，这时Father(V)已经指向了lca(U,V)

最后将该节点在并查集中指向它的父亲节点。

事实上它是O(α(n)n+m)的

#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;int to[1001001],nex[1001001],fir[500100],qto[1001001],qnex[1001001],qfir[500100],n,m,S,ans[500100],fa[500100],top;bool visited[500100];int find(int w){    if(fa[w]!=w)fa[w]=find(fa[w]);    return fa[w];}void Tarjan_lca(int w){    visited[w]=1;    for(int i=fir[w];i;i=nex[i])    {        if(visited[to[i]])continue;        Tarjan_lca(to[i]);        fa[to[i]]=w;    }    for(int i=qfir[w];i;i=qnex[i])    {        int x=qto[i];        if(visited[x])        {            ans[i>>1]=find(x);        }    }}int main(){    scanf("%d%d%d",&n,&m,&S);    for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;    for(int i=1;i<n;i++)    {        int x,y;        scanf("%d%d",&x,&y);        to[++top]=y;nex[top]=fir[x];fir[x]=top;        to[++top]=x;nex[top]=fir[y];fir[y]=top;    }    top=1;    for(int i=1;i<=m;i++)    {        int x,y;        scanf("%d%d",&x,&y);        qto[++top]=y;qnex[top]=qfir[x];qfir[x]=top;        qto[++top]=x;qnex[top]=qfir[y];qfir[y]=top;    }    Tarjan_lca(S);    for(int i=1;i<=m;i++)printf("%d\n",ans[i]);}

可能在对于比较深层的树中需要人工栈。

#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;int to[1001001],nex[1001001],fir[500100],qto[1001001],qnex[1001001],qfir[500100],n,m,S,ans[500100],fa[500100],top,c[500100],stack[500100],las[500100];bool visited[500100];int find(int w){    if(fa[w]!=w)fa[w]=find(fa[w]);    return fa[w];}void Tarjan_lca(int w){    visited[w]=1;    stack[++top]=w;    c[top]=fir[w];    las[top]=0;    while(top)    {        bool p=0;        w=stack[top];        fa[las[top]]=w;        for(int i=c[top];i;i=nex[i])        {            if(visited[to[i]])continue;            las[top]=to[i];            stack[++top]=to[i];            c[top]=fir[to[i]];            las[top]=0;            p=1;            visited[to[i]]=1;            break;        }        if(p)continue;        for(int i=qfir[w];i;i=qnex[i])        {            int x=qto[i];            if(visited[x])            {                ans[i>>1]=find(x);            }        }        top--;      }}int main(){    scanf("%d%d%d",&n,&m,&S);    for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;    for(int i=1;i<n;i++)    {        int x,y;        scanf("%d%d",&x,&y);        to[++top]=y;nex[top]=fir[x];fir[x]=top;        to[++top]=x;nex[top]=fir[y];fir[y]=top;    }    top=1;    for(int i=1;i<=m;i++)    {        int x,y;        scanf("%d%d",&x,&y);        qto[++top]=y;qnex[top]=qfir[x];qfir[x]=top;        qto[++top]=x;qnex[top]=qfir[y];qfir[y]=top;    }    top=0;    Tarjan_lca(S);    for(int i=1;i<=m;i++)printf("%d\n",ans[i]);}

再例如NOIP2015提高的最后一题，运输计划，多少个人95分：

#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;const int N=300300;int n,m,q[N][2],to[2*N],next[2*N],fir[N],las[N],f[21][N],poi[N],tot=0,floor[N],bz[N],data[N],loc[N],top=0;long long ans,len[N],v[2*N],p[N],dis[21][N],leng[N],max=0,d[N];void swap(int &x,int &y){int z=x;x=y;y=z;}void swap(long long &x,long long &y){long long z=x;x=y;y=z;}void put(int,int,long long);void build(int x);long long get(int,int);void find(int,int);void qs(int,int);int Get(int);int main(){    ans=100000000000000;    freopen("transport.in","r",stdin);    freopen("transport.out","w",stdout);    scanf("%d%d",&n,&m);    for(int i=1;i<n;i++)    {        int x,y;        long long z;        scanf("%d%d%lld",&x,&y,&z);        put(x,y,z),put(y,x,z);    }    memset(bz,0,sizeof(bz));    memset(f,0,sizeof(f));    memset(dis,0,sizeof(dis));    memset(floor,0,sizeof(floor));    floor[1]=1;    build(1);    for(int j=1;j<21;j++)    {        for(int i=1;i<=n;i++)        {            f[j][i]=f[j-1][f[j-1][i]];            dis[j][i]=dis[j-1][i]+dis[j-1][f[j-1][i]];        }    }    int x,y;    for(int i=1;i<=m;i++)    {        scanf("%d%d",&q[i][0],&q[i][1]);        leng[i]=get(q[i][0],q[i][1]);    }    qs(1,m);    memset(bz,0,sizeof(bz));    find(q[1][0],q[1][1]);    memset(bz,0,sizeof(bz));    for(int i=1;i<=top;i++)    {        loc[poi[i]]=i;        data[i]=poi[i];        bz[poi[i]]=poi[i];    }    x=0,y=top;    while(x<y)    {        int now=data[++x];        for(int i=fir[now];i;i=next[i])        {            int o=to[i];            if(!bz[o])            {                bz[o]=bz[now];                data[++y]=o;            }        }     }    x=1;y=top;    for(int i=2;i<=m;i++)    {        int xx=Get(q[i][0]),yy=Get(q[i][1]);        if(xx>yy)swap(xx,yy);        if(xx>=y)        {            len[x]+=leng[i];            len[y]-=leng[i];            break;        }        if(yy<=x)        {            len[x]+=leng[i];            len[y]-=leng[i];            break;        }        if(xx>x)        {            len[xx]-=leng[i];            len[x]+=leng[i];            x=xx;        }        if(yy<y)        {            len[yy]+=leng[i];            len[y]-=leng[i];            y=yy;        }    }    for(int i=1;i<top;i++)    {        len[i]+=len[i-1];        long long temp=leng[1]-d[i];        if(temp<len[i])temp=len[i];        if(temp<ans)ans=temp;    }    if(top-1)printf("%lld",ans);else printf("0");}int Get(int x){    return loc[bz[x]];} void qs(int h,int t){    int l=h,r=t;    long long n=leng[(h+t)>>1];    do    {        while(leng[l]>n)l++;        while(leng[r]<n)r--;        if(l<=r)        {            swap(q[l][0],q[r][0]);            swap(q[l][1],q[r][1]);            swap(leng[l],leng[r]);            l++;r--;        }    }while(l<=r);    if(h<r)qs(h,r);if(l<t)qs(l,t);}void find(int x,int t){    bz[x]=1;    poi[++top]=x;    if(t==x)return;    for(int i=fir[x];i;i=next[i])    {        int now=to[i];        if(bz[now])continue;        d[top]=v[i];        find(now,t);        if(t==poi[top])return;    }    top--;}long long get(int x,int y){    if(floor[x]>floor[y])swap(x,y);    long long ans=0;    for(int i=20;i+1;i--)    {        if(floor[f[i][y]]>=floor[x])        {            ans+=dis[i][y];            y=f[i][y];            if(floor[x]==floor[y])break;        }    }    if(x==y)return ans;    for(int i=20;i+1;i--)    {        if(f[i][x]!=f[i][y])        {            ans+=dis[i][x]+dis[i][y];            x=f[i][x];y=f[i][y];        }    }    ans+=dis[0][x]+dis[0][y];    return ans;}void build(int x){    bz[x]=1;    for(int i=fir[x];i;i=next[i])    {        int n=to[i];        if(!bz[n])        {            f[0][n]=x;            dis[0][n]=v[i];            floor[n]=floor[x]+1;            build(n);        }    }}void put(int x,int y,long long z){    to[++tot]=y;next[tot]=0;v[tot]=z;    if(fir[x])next[las[x]]=tot;else fir[x]=tot;    las[x]=tot;}

这是用倍增的结果，死命改也不对。
然后换了Tarjan lca:

#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;const int N=300300;int n,m,q[N][3],to[2*N],next[2*N],fir[N],f[21][N],poi[N],tot=0,floor[N],bz[N],data[N];int loc[N],top=0,up[N][2],qto[2*N],qfir[N],fa[N],qnex[2*N],Top=0,st[N],c[N],qown[N*2],C[N];long long ans,len[N],v[2*N],p[N],dis[21][N],leng[N],max=0,d[N],dist[N];void swap(int &x,int &y){int z=x;x=y;y=z;}void swap(long long &x,long long &y){long long z=x;x=y;y=z;}void build(int x);void qs(int,int);int Find(int w){    if(fa[w]!=w)fa[w]=Find(fa[w]);    return fa[w];}void Tarjan_lca(int w){    c[1]=fir[w];    C[1]=0;    st[1]=w;    Top=1;    while(Top)    {        bool p=0;        w=st[Top];        bz[w]=1;        fa[to[C[Top]]]=w;        for(int i=c[Top];i;i=next[i])        {            if(!bz[to[i]])            {                C[Top]=i;                c[Top]=next[i];                st[++Top]=to[i];                c[Top]=fir[to[i]];                C[Top]=0;                p=1;break;            }        }        if(p)continue;        for(int i=qfir[w];i;i=qnex[i])        {            int x=qto[i],s=qown[i];            if(bz[x])            {                if(s*2==i)                {                    q[s][2]=Find(x);                    leng[s]=dist[w]+dist[x]-2*dist[q[s][2]];                    up[s][1]=floor[w]-floor[q[s][2]];                    up[s][0]=floor[x]-floor[q[s][2]];                }else                {                    q[s][2]=Find(x);                    leng[s]=dist[w]+dist[x]-2*dist[q[s][2]];                    up[s][0]=floor[w]-floor[q[s][2]];                    up[s][1]=floor[x]-floor[q[s][2]];                }            }        }        Top--;    }}int Read(){     int f=1,p=0;char c=getchar();     while(c>'9' || c<'0'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}     while(c>='0' && c<='9'){p=p*10+c-'0';c=getchar();}     return f*p; }long long read(){     long long f=1,p=0;char c=getchar();     while(c>'9' || c<'0'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}     while(c>='0' && c<='9'){p=p*10+c-'0';c=getchar();}     return f*p; }int main(){    ans=100000000000000;    freopen("transport.in","r",stdin);    freopen("transport.out","w",stdout);    scanf("%d%d",&n,&m);    memset(fir,0,sizeof(fir));    memset(qfir,0,sizeof(qfir));    memset(next,0,sizeof(next));    memset(qnex,0,sizeof(qnex));    for(int i=1;i<n;i++)    {        int x,y;        long long z;        x=Read();        y=Read();        z=read();        to[++tot]=y;next[tot]=fir[x];v[tot]=z;        fir[x]=tot;        to[++tot]=x;next[tot]=fir[y];v[tot]=z;        fir[y]=tot;    }    for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;    memset(bz,0,sizeof(bz));    memset(f,0,sizeof(f));    memset(dis,0,sizeof(dis));    memset(floor,0,sizeof(floor));    floor[1]=1;    build(1);    for(int j=1;j<21;j++)    {        for(int i=1;i<=n;i++)        {            f[j][i]=f[j-1][f[j-1][i]];            dis[j][i]=dis[j-1][i]+dis[j-1][f[j-1][i]];        }    }    int x,y;    for(int i=1;i<=m;i++)    {        scanf("%d%d",&q[i][0],&q[i][1]);        qto[++Top]=q[i][1];        qnex[Top]=qfir[q[i][0]];        qfir[q[i][0]]=Top;        qown[Top]=i;        qto[++Top]=q[i][0];        qnex[Top]=qfir[q[i][1]];        qfir[q[i][1]]=Top;        qown[Top]=i;    }    memset(bz,0,sizeof(bz));    Tarjan_lca(1);    qs(1,m);    int point=q[1][0];    top=1;    poi[1]=q[1][0];    d[1]=dis[0][point];    for(int i=1;i<=up[1][0];i++)    {        point=f[0][point];        d[++top]=dis[0][point];        poi[top]=point;    }    poi[++top]=q[1][1];    int wz=top;    point=q[1][1];    d[top]=dis[0][point];    for(int i=1;i<up[1][1];i++)    {        point=f[0][point];        d[++top]=dis[0][point];        poi[top]=point;    }    for(int i=wz;i<=(wz+top)/2;i++)swap(poi[i],poi[top-i+wz]),swap(d[i],d[top-i+wz]);    for(int i=wz-1;i<top;i++)d[i]=d[i+1];    memset(bz,0,sizeof(bz));    for(int i=1;i<=top;i++)    {        loc[poi[i]]=i;        data[i]=poi[i];        bz[poi[i]]=poi[i];    }    x=0,y=top;    while(x<y)    {        int now=data[++x];        for(int i=fir[now];i;i=next[i])        {            int o=to[i];            if(!bz[o])            {                bz[o]=bz[now];                data[++y]=o;            }        }     }    x=1;y=top;    for(int i=2;i<=m;i++)    {        int xx=loc[bz[q[i][0]]],yy=loc[bz[q[i][1]]];        if(xx>yy)swap(xx,yy);        if(xx>=y)        {            len[x]+=leng[i];            len[y]-=leng[i];            break;        }        if(yy<=x)        {            len[x]+=leng[i];            len[y]-=leng[i];            break;        }        if(xx>x)        {            len[xx]-=leng[i];            len[x]+=leng[i];            x=xx;        }        if(yy<y)        {            len[yy]+=leng[i];            len[y]-=leng[i];            y=yy;        }    }    for(int i=1;i<top;i++)    {        len[i]+=len[i-1];        long long temp=leng[1]-d[i];        if(temp<len[i])temp=len[i];        if(temp<ans)ans=temp;    }    if(top-1)printf("%lld",ans);else printf("0");}void qs(int h,int t){    int l=h,r=t;    long long n=leng[(h+t)>>1];    do    {        while(leng[l]>n)l++;        while(leng[r]<n)r--;        if(l<=r)        {            int t;            long long t1;            t=q[l][0];q[l][0]=q[r][0];q[r][0]=t;            t=q[l][1];q[l][1]=q[r][1];q[r][1]=t;            t1=leng[l];leng[l]=leng[r];leng[r]=t1;            t=up[l][0];up[l][0]=up[r][0];up[r][0]=t;            t=up[l][1];up[l][1]=up[r][1];up[r][1]=t;            l++;r--;        }    }while(l<=r);    if(h<r)qs(h,r);if(l<t)qs(l,t);}void build(int x){    bz[x]=1;    data[1]=x;    int h=0,t=1;    while(h<t)    {        int now=data[++h];        for(int i=fir[now];i;i=next[i])        {            x=to[i];            if(!bz[x])            {                bz[x]=1;                dist[x]=dist[now]+v[i];                f[0][x]=now;                dis[0][x]=v[i];                floor[x]=floor[now]+1;                data[++t]=x;            }        }    }}