本科矩阵知识复习

一.矩阵的秩：
在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性独立的横行的极大数目。
在初等运算下面，矩阵A的秩保持不变：
1. 交换矩阵的两行（列）；
2. 以一个非零数k乘矩阵的某一行（列）；
3. 把矩阵的某一行（列）的z倍加于另一行（列）上。
矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)或rank（A）。

二.正交矩阵（转置为逆矩阵）：
在矩阵论中，正交矩阵（orthogonal matrix）是一个方块矩阵Q，其元素为实数，而且行与列皆为正交的单位向量，使得该矩阵的转置矩阵为其逆矩阵。
正交矩阵的行列式值必定为+1或-1。

三.共轭转置：
转置后对复数的系数取反就可得到本身的共轭转置矩阵，一图以蔽之：

四.酉矩阵：
矩阵U为酉矩阵，当且仅当其共轭转置等于其逆矩阵：

性质如下：

五.行列式：
行列式（Determinant）是数学中的一个函数，将一个的矩阵 A映射到一个标量，记作 det(A)或|A|。
特点：
1.在行列式中，一行（列）元素全为0，则此行列式的值为0。
2.在行列式中，某一行（列）有公因子k，则可以提出k。
3.在行列式中，某一行（列）的每个元素是两数之和，则此行列式可拆分为两个相加的行列式。
4.行列式中的两行（列）互换，改变行列式正负符号。
5.在行列式中，有两行（列）对应成比例或相同，则此行列式的值为0。
6.将一行（列）的k倍加进另一行（列）里，行列式的值不变（a+k**b**）。
7.一行（列）的k倍加上另一行（列），行列式的值改变（k**a**+b）。
8.将行列式的行列互换（转置），行列式的值不变。
9.方块矩阵的乘积的行列式等于行列式的乘积：det(AB)=det(A)*det(B)。（若将矩阵中的每一行每一列上的数都乘以一个常数r，那么所得到的行列式不是原来的r倍，而是r的n次方倍。）
10.行列式是所有特征值（按代数重数计）的乘积。
11.若两个矩阵相似，那么它们的行列式相同。
证明：如果两个矩阵A与B相似，那么存在可逆矩阵P使得：

六.矩阵的特征值和特征向量：
矩阵A是一个n*n方阵，存在一个标量a(可能是复数)和非零向量v 满足等式Av =a v ，则称a是矩阵A 的特征值，v 是矩阵A 的特征向量。
a是矩阵A的特征值的充要条件是矩阵 a E -A 是奇异矩阵，即det (a E -A )=0。其中，E 是n阶单位方阵。

七.对称矩阵：
如果矩阵A和它本身的转置相等，则称A为对称矩阵。
注意：A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。
性质：
1.实对称矩阵的所有特征值都是实数。
2.对于n阶实对称矩阵，n个特征向量是相互正交的。

八.正交矩阵：
如果一个矩阵逆矩阵等于它的转置，那么该矩阵是正交矩阵。
性质：
1.A是正交矩阵，则 detA=1或-1;
2.若A,B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵。
3. 若A是正交矩阵，则A的逆矩阵也是正交矩阵。

九.对角矩阵：
对角矩阵（英语：diagonal matrix）是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵。对角线上的元素可以为0或其他值。
性质：
1.对角矩阵都是对称矩阵。
2.对角矩阵是上三角矩阵及下三角矩阵。
3.单位矩阵I及零矩阵恒为对角矩阵。一维的矩阵也恒为对角矩阵。
4.对角矩阵都是对称矩阵。
5.一个对角线上元素皆相等的对角矩阵是数乘矩阵，可表示为单位矩阵及一个系数λ的乘积：λI。
6.一对角矩阵 diag(a1, …, an) 的特征值为a1, …, an。而其特征向量为单位向量 e1, …, en。
7.一对角矩阵 diag(a1, …, an) 的行列式为a1…an的乘积。