线性求子序列最大平均值

Description

给出长度为n的正整数序列，要求在所有长度大于m的连续的子序列中的最大的平均值。
n<=107

Solution

如果是nlog(n)的话就是一道大水题，直接二分答案即可，
但现在n<=107，必须要线性的做法，
来看一下怎么求平均值，
做完前缀和以后，l~r的平均值就是：

sumr−suml−1r−l+1

观察一下，发现这个非常的像斜率，

于是，问题就变形成了：
我们有一堆上升的点，要在这些点中找出两个横坐标差大于m的点，使得的斜率最大。

考虑加上斜率优化的思想：
我们先来维护一个队列，使得这个队列中，相邻的两个点的斜率单调上升，
因为我们可以证明，如果有一个点X，X与X前面的点Z的斜率小于X与X后面的点Y，

那么无论如何，X的斜率都不是最优的，所以点X可以删掉；

同样可以证明，如果队列中连续两个点X,Y，有一点Z，如果Y,Z的斜率大于X,Z的斜率，那么X在之后的操作中都不可能是最优的了，可以永久的删掉，

复杂度：O(n)

Code

#include <cstdio>#include <cstdlib>#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)#define max(q,w) ((q)>(w)?(q):(w))using namespace std;typedef double db;const int N=1000500;int read(int &n){    char ch=' ';int q=0,w=1;    for(;(ch!='-')&&((ch<'0')||(ch>'9'));ch=getchar());    if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();    for(;ch>='0' && ch<='9';ch=getchar())q=q*10+ch-48;n=q*w;return n;}int n,m;int a[N];db ans;int d[N],S,T;db D(int q,int w){return 1.0*(a[w]-a[q])/(w-q);}int main(){    int q,w;    read(n),read(m);    fo(i,1,n)a[i]=a[i-1]+read(a[i]);    S=T=1;    fo(i,m,n)    {        while(S<T&&D(d[S],i)<=D(d[S+1],i))S++;        ans=max(ans,D(d[S],i));        while(S<T&&D(d[T-1],d[T])>=D(d[T],i-m+1))T--;        d[++T]=i-m+1;    }    printf("%.4lf\n",ans);    return 0;}