整币兑零

整币兑零是一个特殊的分解统计案例，其不同的的兑换种类与零币的种类及各零币的具体数值密切相关；

本节探讨特定的6种零币与一般从键盘输入的m种零币的两类兑零统计；

---

特定整币兑零

把一张1元整币兑换成1分，2分，5分，1角，2角和5角共6种零币，共有多少种不同兑换种数？

一般地，把一张二元整币，5元整币或一张n元整币兑换成1分，2分，5分，1角，2角和5角共6种零币，共有多少种不同兑换种数？

1.说明：

一般地设整币的面值为n个单位，面值为1、2、5、10、20、50单元零币的个数分别为p1、p2、p3、p4、p5、p6；

显然需要解一次不定方程：

• p1+2*p2+5*p3+10*p4+20*p5+50*p6=n

其中p1、p2、p3、p4、p5、p6为非负整数；

对这六个变量实施枚举，确定枚举范围为：

0<=p1<=n，0<=p2<=n/2，0<=p3<=n/5；
0<=p4<=n/10，0<=p5<=n/20，**0<=p6<=n/50
**；

在以上枚举的6重循环中，若满足条件p1+2*p2+5*p3+10*p4+20*p5+50*p6=n，则为一种兑零方法，输出结果并通过变量m统计不同的兑换种类；

2.程序设计：

#include<stdio.h>#include<math.h>int main(){   int p1,p2,p3,p4,p5,p6,n;   long m;   printf("请输入整币量n:");   scanf("1分  2分  5分  1角  2角  5角 \n");   for(p1=0;p1<=n;p1++)    for(p2=0;p2<=n/2;p2++)     for(p3=0;p3<=n/5;p3++)      for(p4=0;p4<=n/10;p4++)       for(p5=0;p5<=n/20;p5++)        for(p6=0;p6<=n/50;p6++)           if(p1+2*p2+5*p3+10*p4+20*p5+50*p6==n)  /*根据条件检验*/           {              m++;              printf("%5d%5d%5d",p1,p2,p3);              printf("%5d%5d%5d\n",p4,p5,p6);           }   printf("%d(1,2,5,10,20,50)=%ld \n",n,m);}

3.程序运行示例及其注意事项：

请输入整币量n:1001分  2分  5分  1角  2角  5角0    0    0   0    0    20    0    0   0    5    00    0    0   1    2    1......100(1,2,5,10,20,50)=4562共有4562个解，即有4562种不同的兑换种数。

注意：当输入数值过大时，兑换种数相应越多，时间也就越长；

精简枚举循环设计

1.说明：

在上述程序的6重循环中，我们可精简p1循环，在循环内应用：

• p1=n-（2*p2+5*p3+10*p4+20*p5+50*p6）

p1赋值，如果p1为非负数，对应一种兑换法；

当n较大时程序运行时间较长，主要是每一个解都要打印，如果只需要计算兑换种数，则可省略打印语句，这样可大大缩减程序的运行时间；

2.程序设计：

#include<stdio.h>#include<math.h>int main(){   int p1,p2,p3,p4,p5,p6,n;   long m;   printf("请输入整币量n:");   scanf("%d",&n);   for(p2=0;p2<=n/2;p2++)    /*已省略p1循环*/     for(p3=0;p3<=n/5;p3++)      for(p4=0;p4<=n/10;p4++)       for(p5=0;p5<=n/20;p5++)        for(p6=0;p6<=n/50;p6++)        {              p1=n-(2*p2+5*p3+10*p4+20*p5+50*p6);  /*p1为一分币的个数*/           if(p1>=0)              m++;     /*用m统计兑换种数*/        }   printf("%d(1,2,5,10,20,50)=%ld \n",n,m);}

3.程序运行示例及其注意事项：

请输入整币量n:200200(1,2,5,10,20,50)=69118

进一步优化枚举设计

1.说明：

以上程序的循环次数已经大大精简，进一步分析，可以看到在程序的循环设计设置中p3循环可从0~n/5改进为0~（n-2*p2）/5，因为在n中p2已占去了2*p2，以此类推，对p4、p5、p6的循环可作类似的循环参量优化；

2.程序设计：

#include<stdio.h>int main(){   int p1,p2,p3,p4,p5,p6,n;   long m=0;   printf("请输入整币量n:");   scanf("%d",&n);   for(p2=0;p2<=n/2;p2++)    for(p3=0;p3<=(n-2*p2)/5;p3++)     for(p4=0;p4<=(n-2*p2-5*p3)/10;p4++)      for(p5=0;p5<=(n-2*p2-5*p3-10*p4)/20;p5++)       for(p6=0;p6<=(n-2*p2-5*p3-10*p4-20*p5)/50;p6++)       {          p1=n-(2*p2+5*p3+10*p4+20*p5+50*p6);          if(p1>=0)             m++;  /*用m统计兑换种数*/       }   printf("%d(1,2,5,10,20,50)=%ld \n",n,m);}

3.程序运行示例及其注意事项：

请输入整币量n:500500(1,2,5,10,20,50)=3937256

注意：以上3个设计尽管都是枚举，但循环的设置与循环参量的改进可精简去一些不必要的比较操作，可大大缩减程序的运行时间；

---

一般整币兑零

把整币兑零的零币一般化为m种，每一种零币值从键盘输入；

1.说明：

因为零币的种类较多时，应用枚举显然不能胜任，考虑应用递推求解，应用递推求解的关键在于寻求递推关系；

设整币为n个单位，m种指定零币从小到大分别为x1，x2，……，xm个单位，整币兑零实际上是一个整体数无序可重复化零问题；

记a（j，i）为整体数是i，最大零数是xj的化零种数，当去掉一个xj后，整体数变为p=i-xj，最大零数可为x1，或x2，……，或xj（因为可重复），于是有递推式：

• a（j，i）=a（1，p）+a（2，p）+……+a（j，p） （其中p=i-xj）

可据整体数i能否被x1整除确定初始条件：

• a（1，i）=1 （当i能被x1整除时）

• a（1，j）=0 （当i不能被x1整除时）

作以上函数递推，分别计算得a（1，n），a（2，n），……，a（m，n），求和即得所求的整币兑零种数：

• n（x1，x2，……，xm）=a（1，n）+a（2，n）+……+a（m，n）

应用函数递推简化了化零的难度；

2.程序设计：

#include<stdio.h>int main(){   int p,i,j,n,m,k;   static int x[12];   static long int a[12][1001];   long b,s;   printf("请输入整币值(单位数):");  /*输入处理数据*/   scanf("%d",&n);   printf("请输入零币种数:");   scanf("%d",&m);   printf("(从小到大依次输入每种零币值)\n");   for(i=1;i<=m;i++)   {      printf("第%d种零币值(单位数):",i);      scanf("%d",&x[i]);   }   for(i=0;i<=n;i++)    /*确定初始条件*/      if(i%x[1]==0)         a[1][i]=1;      else         a[1][i]=0;   for(s=a[1][n],j=2;j<=m;j++)    /*递推计算a(2,n),a(3,n),...*/   {      for(i=x[j];j<=n;i++)      {         p=i-x[j];         b=0;         for(k=1;k<=j;k++)            b+=a[k][p];         a[j][i]=b;      }      s+=a[j][n];            /*累加a(1,n),a(2,n),...*/   }   printf("整币兑零种数为:%ld\n",s);   /*输出兑零种数*/}

3.程序运行示例及其注意事项：

请输入整币值(单位数):1000请输入零币种数:9(从小到大依次输入每种零币值)第1种零币值(单位数):1第2种零币值(单位数):2第3种零币值(单位数):5第4种零币值(单位数):10第5种零币值(单位数):20第6种零币值(单位数):50第7种零币值(单位数):100第8种零币值(单位数):200第9种零币值(单位数):500整币兑零种数为:327631321

这一问题如果应用前面的枚举设计求解，显然难以胜任；

注意：本程序是求解整币兑零，事实上输入的整币值并不限于实际的100、500、200、1000等，可输入234、5017等任意整数“整币值”，输入的零币值也不受实际约束，只要小于整币值的任意整数即可；