学反码、补码、原码,取模,取余

来源:互联网 发布:linux ab压力测试工具 编辑:程序博客网 时间:2024/06/01 21:51

1、在计算机系统中,数值一律用补码来表示(存储)。
主要原因:使用补码,可以将符号位和其它位统一处理;同时,减法也可按加法来处理。另外,两个用补
码表示的数相加时,如果最高位(符号位)有进位,则进位被舍弃。
2、补码与原码的转换过程几乎是相同的。
数值的补码表示也分两种情况:
(1)正数的补码:与原码相同。
例如,+9的补码是00001001。
(2)负数的补码:符号位为1,其余位为该数绝对值的原码按位取反;然后整个数加1。
例如,-7的补码:因为是负数,则符号位为“1”,整个为10000111;其余7位为-7的绝对值+7的原码
0000111按位取反为1111000;再加1,所以-7的补码是11111001。
已知一个数的补码,求原码的操作分两种情况:
(1)如果补码的符号位为“0”,表示是一个正数,所以补码就是该数的原码。
(2)如果补码的符号位为“1”,表示是一个负数,求原码的操作可以是:符号位为1,其余各位取
反,然后再整个数加1。
例如,已知一个补码为11111001,则原码是10000111(-7):因为符号位为“1”,表示是一个负
数,所以该位不变,仍为“1”;其余7位1111001取反后为0000110;再加1,所以是10000111。
在“闲扯原码、反码、补码”文件中,没有提到一个很重要的概念“模”。我在这里稍微介绍一下“模”
的概念:
“模”是指一个计量系统的计数范围。如时钟等。计算机也可以看成一个计量机器,它也有一个计量范
围,即都存在一个“模”。例如:
时钟的计量范围是0~11,模=12。
表示n位的计算机计量范围是0~2(n)-1,模=2(n)。【注:n表示指数】
“模”实质上是计量器产生“溢出”的量,它的值在计量器上表示不出来,计量器上只能表示出模的
余数。任何有模的计量器,均可化减法为加法运算。
例如: 假设当前时针指向10点,而准确时间是6点,调整时间可有以下两种拨法:
一种是倒拨4小时,即:10-4=6
另一种是顺拨8小时:10+8=12+6=6
在以12模的系统中,加8和减4效果是一样的,因此凡是减4运算,都可以用加8来代替。
对“模”而言,8和4互为补数。实际上以12模的系统中,11和1,10和2,9和3,7和5,6和6都有这个特
性。共同的特点是两者相加等于模。
对于计算机,其概念和方法完全一样。n位计算机,设n=8, 所能表示的最大数是11111111,若再
加1称为100000000(9位),但因只有8位,最高位1自然丢失。又回了00000000,所以8位二进制系统的
模为2(8)。 在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题,只需把减数用相应的补数表示就可以
了。把补数用到计算机对数的处理上,就是补码。
另外两个概念
一的补码(one's complement) 指的是正数=原码,负数=反码
而二的补码(two's complement) 指的就是通常所指的补码。

这里补充补码的代数解释:
任何一个数都可以表示为-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a;
这个假设a为正数,那么-a就是负数。而根据二进制转十进制数的方法,我们可以把a表示为:a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2)
这里k0,k1,k2,k(n-2)是1或者0,而且这里设a的二进制位数为n位,即其模为2^(n-1),而2^(n-1)其二项展开是:1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2),而式子:-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中,2^(n-1)-a代入a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2)和2^(n-1)=1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2)两式,2^(n-1)-a=(1-k(n-2))*2^(n-2)+(1-k(n-3))*2^(n-3)+……+(1-k2)*2^2+(1-k1)*2^1+(1-k0)*2^0+1,而这步转化正是取反再加1的规则的代数原理所在。因为这里k0,k1,k2,k3……不是0就是1,所以1-k0,1-k1,1-k2的运算就是二进制下的取反,而为什么要加1,追溯起来就是2^(n-1)的二项展开式最后还有一项1的缘故。而-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中,还有-2^(n-1)这项未解释,这项就是补码里首位的1,首位1在转化为十进制时要乘上2^(n-1),这正是n位二进制的模。

 

① 求余:取整除后的余数。例如:

10 MOD 4=2; -17 MOD 4=-1; -3 MOD 4=-3; 4 MOD (-3)=1; -4 MOD 3=-1

如果有a MOD b是异号,那么得出的结果符号与a相同;当然了,a MOD b就相当于a-(a DIV B ) *b的运算。例如:

13 MOD 4=13-(13 DIV 4)*4=13-12=1

② 求模:规定“a MOD b”的b不能为负数,其运算规则如下:

(i)当a>b时,不断从a中减去b,直到出现了一个小于b的非负数。

例如: 8 MOD 3=2

(ii)当a<b,且a>0时,结果为a。如:

3 MOD 8=3

(iii)当a<b,且a<0时,则b不断地加到a上,直到结果是一个小于b的非负数为止。如:

-3 MOD 4=1; -4 MOD 3=2

注意:当a、b全为正数时,无论是“求余”还是“求模”,得到的结果是相同的。如:22 MOD 6=4;只有a<0当时,两种运算结果不同。

例如:n为四位数7341。可用下面的方法分离出它的个、十、百、千位。

7341 MOD 10=1 (个位数)

(7341 MOD 100) DIV 10=3 (十位数)

(7341 MOD 1000) DIV 100=3 (百位数)

7341 DIV 1000=7 (千位数)

此外,利用a MOD b,可以判断a能否被b整除。当a MOD b=0时,a能被b整除。

注意:a、b都必须为整数。如:50.0 MOD 20.0是不可以的。

 

数学意义上的取模运算是:a # b ( mod c)。读作“a与b在模c下相合”。比方:23 # 3 ( mod 4)。其实就是表达了(23 - 3)为4的整倍数这样一个事实。

 

-7   %     3     =   -1  
    7   %   -3     =     1  
  -7   %   -3     =   -1  
   
  先化为正数模除  
  结果值与被模除数同号

 

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