【算法】数据结构与算法分析学习笔记——第三章习题选做Josephus问题

3.14Josephus问题可以描述为如下的一个游戏：N个人编号从1到N，围坐成一个圆圈，从1号开始传递一个热土豆，经过M次传递后拿着土豆的人离开圈子，由坐在离开的人的后面的人拿起热土豆继续进行游戏，直到圈子只剩下最后一个人。例如：M=0，N=5，则游戏人依次被清除，5号最后留下；如果M=1，N=5，那么被清除的人的顺序是2,4,1,5，最后剩下的是3号。

这里给出两种实现方法，第一种是最容易想到的，也就是直接程序模拟实现，用数组链表都可以，直接贴代码，是用单循环链表实现的，这种方法的时间复杂度是O（MN）

代码如下：

然后介绍一种递推的方法，我们再回到题目去分析，就使用M=3，N=4的例子吧

我们可以想想，在最后剩下一个人的时候，我们虽然不知道这个人原先的编号，但是我们可以确定他是第0个（也就是说每次出队后都把剩下的重新编号），那么是否可以反推过去，算出他原来的编号呢？

画个图形象一点

每一次出队后，由出队的下一个作为0，很快就可以发现规律，

第一次n=4，3-->0，0(+4)-->1，1(+4)-->2

第二次n=3，0(+3)-->0，1(+3)-->1

第三次n=2，1(+2)-->0

换成通项公式就是f(n-1)=[ f(n) - M ] % n  

如果反过来推就是f(n)=[ f(n-1) + M ] % n

代码如下：

3.22提出支持栈的Push和Pop操作以及第三种操作FindMin的数据结构，其中FindMin返回该数据结构的最小元素 所有操作在最坏的情况下的运行时间都是O(1)

感受一下作者的脑洞。。。